Lösungen zu Aufgabenblatt Potenzgesetze
(Aufgabenblatt von Norbert Kräutle, Deutsche Schule London)

A1 a) `3^3 = 333`	A1 b) `(1/2)^4 = 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = (1^4)/(2^4) = 1/16`
A1 c) `sqrt(2)^4 = sqrt(2) * sqrt(2) * sqrt(2) * sqrt(2) = 4`	A1 d) `(-sqrt(3)^2 = -sqrt(3)*(-sqrt(3)) = 3`
A1 e) `16 = 4^2 = 2^4`	A1 f) `256 = 16^2 = (2^4)^2 = 2^8`
A1 g) `0,81 = 0,9^2`	A1 h) `8sqrt(8) = sqrt(8^2)*sqrt(8)=sqrt(8^3)`

A2 a) `3^5 *3^2 = 3^7`		A2 b) `sqrt(7)^2sqrt(7)^3 = sqrt(7)^5 = sqrt(7)^4sqrt(7)=49sqrt(7)`
A2 c) `(u-v)^9*(u-v) = (u-v)^10 `		A2 d) `93^(k+1) = 3^23^(k+1) = 3^(k+3) `
A2 e) `w^n*w^(n+1) = w^(2n+1) `		A2 f) `(a^n)/(a^(n+1)) = a^(n-(n+1)) = a^-1 = 1/a `
A2 g) `(u^(k+2m)v^n)/(u^(2k+3m)v^(n-1)) `		A2 h) `(b^(n+2)ac^2)/(a^2b^(3n)c^(-n)) = a^(1-2)b^(n+2-3n)c^(2-(-n)) ` `= a^-1b^(-2n+2)c^(n+2) `
A2 i) `((a+b)^7y^2q^k)/(yq(a^2+2ab+b^2)) = ((a+b)^5(a+b)^2yyqq^(k-1))/(yq(a+b)^2) = (a+b)^5yq^(k-1) `

A3 a) `2^33^3 = (23)^3 = 6^3`		A3 b) `sqrt(3)^3sqrt(2^3 = (sqrt(8)sqrt(2))^3 = sqrt(16)^3 = 4^3 = 64 `
A3 c) `3x^4y^4*z^4 = 3(xyz)^4 `		A3 d) `(a^2)^nb^nc^n = (a^2bc)^n `
A3 e) `((u-v)/v)^(2k)(u/(v-u))^(2k)` ` = (((u-v)u)/((v-u)*v))^(2k)=(u/v)^(2k) `		A3 f) `((10ab)^k)/((4b)^k) = `
A3 g) `(a/b)^n(a^n)/(b^n)= (a^na^n)/(b^n*b^n) = (a/b)^(2n)`		A3 h) `(x/y)^n(x^ny^m)/(y^mx^n) = (x^nx^ny^m)/(y^ny^m*x^n) = (x/y)^n `
A3 i) `((4ab)^3)/((6a^2)^3)* 5/(b^3) = (2^32^3a^3b^35)/(2^33^3a^6b^3) = 5(2/(3a))^3`

A4 a) `(2^3)^2 = 2^6 = 64`		A4 b) `(e^5)^2 = e^10 `
A4 c) `(-a^3)^4 = (-1)^4*a^12 = a^12 `		A4 d) `(-x^3)^7 = -x^21 `
A4 e) `(v^p)^q = v^(pq) `		A4 f) `(a^k)^(m+1) = a^(k*(m+1)) = a^(km+k) `
A4 g) ` (-u^k)^2 = (-1)^2*u^(2k) = u^(2k) `		A4 h) `(xy)^2 = x^2*y^2 `
A4 i) `(x^2y^3z^2)^4 = x^8y^12z^8 `		A4 j) `(3ab^2c)^2 = 9a^2b^4c^2 `
A4 k) `(4s*(a+b)^2)^3 = 64s^3(a+b)^6 `

A5 a)
`-8x^8y^3*4xy^2 = -32x^9y^5`

A5 b)
`(-a)^4 b^(3n) a^m b^n = a^(m+4) b^(4n) `

A5 c)
`x^(2k-1)y^(k+1)(-x)^5y = -x^(2k+4)y^(k+2)`

A5 d)
`(u^4)/(v^(m+1))* (v^m)/(u^(2n+5)) = u^(4-(2n+5))*v^(m-(m+1)) ` `= u^(-2n-1)*v^-1 = 1/(u^(2n+1)*v)`

A5 e)
`(c^(m+1)d^(n+1))/(c^(2m+1)d^n) =c^(m+1-(2m+1)) d^(n+1-n)` `= c^(-m) d = d/c^m`

A5 f)
`u^(3k) v^k = (u^3 v)^k`

A5 g)
`p^(4m)q^(2m) = (p^2q)^(2m)`

A5 h)
`((12r^2)/(5s))^7*((15s)/(8r))^7 ` `= (3^7*4^7*r^14*5^7*3^7*s^7)/(5^7*s^7*4^7*2^7*r^7)` `= (9^7*r^7)/(2^7) = ((9r)/2)^7`

A5 i)
`(x-y^2)^2*(x-y^2)^(2k) = (x-y^2)^(2k+2)` `= ((x-y^2)^2)^(k+1) = (x^2-2xy^2+y^4)^(k+1)`

A5 j)
`(u^2sqrt(v))^(2n)*(sqrt(uv)^(2n))` `= u^(4n)v^n*u^nv^n = u^(5n)*v^(2n)= (u^5*v^2)^n`

A5 k)
`((2a^2b)^5)/(a^5b^5) = (2^5a^10b^5)/(a^5b^5)= 32a^5 = (2a)^5 `

A5 l)
`((a^2-b^2)^(2n+1))/((a+b)^(2n+1))= ((a^2-b^2)/(a+b))^(2n+1)` `=(((a+b)(a-b))/(a+b))^(2n+1) = (a-b)^(2n+1) `

A5 m)
`(((x-y)^2)^p)/((x^2-y^2)^p) = (((x-y)^2)/(x^2-y^2))^p` `= (((x-y)^2)/((x+y)(x-y)))^p ` `= ((x-y)/(x+y))^p `

A5 n)
`(x^(n+3)y^2)/(x^3y^(n+3))= (x^n x^3 y^2)/(x^3y^ny^3)` `= (x^n)/(y^(n+1)) = (x/y)^n*y^-1`

A5 o)
`a^2bc*ab^3+2ab^3c*abc` `= a^3b^4c+2a^2b^4c^2` `= a^2 b^4 c(a+2c)`

A5 p)
`2x^3y*y^4+4xyx^2y^4-x^3y^5` `= 2x^3y^5 + 4x^3y^5-x^3y^5 = 5x^3y^5`

A5 q)
`(3a^nb)/(b^2)*(2a^3b^4)/(ab)-(4(ab^2)^n)/(a^-2b^n)` `= (6a^n a^3 b^5)/(ab^3) - (4a^nb^(2n))/(a^-2 b^n)` `= 6a^(n+2)b^2 - 4a^(n+2) b^n` `= 2a^(n+2)(3b^2-2b^n)

A5 r)
`8pq*(p^2q)^3 + 3p^2q*q^2p - 2p^3q^2*p^4q^2+3pq*2(pq)^2` `= 8p^7q^4 + 3p^4q^2 - 2p^7q^4+6p^3q^3` `= 6p^7q^4 + 3p^4q^2 + 6p^3q^3` `= 3p^3q^2*(2p^4q^2+p+2q) `

A6 a)
`3x^3+5x^2 = x^2*(3x+5)`

A6 b)
`3x^3+5x^2+5+3x` (ist nicht zerlegbar)

A6 c)
`x^6y^2+2x^4y^3+x^2y^4 = x^2y^2*(x^4+2x^2y+y^2)` `= x^2y^2*(x^2+y)^2`

A6 d)
`m^(4r) n^r - 2m^(3r) n^(2r+1) + m^(2r) n^(3r+2)` `= m^(2r)n^r*(m^(2r) -2m^r n^(r+1) +n^(2r+2)) ` `= m^(2r)n^r*(m^r - n^(r+1))^2`

A7 a)
`(a^3b-ab^4)/(a^3b^2-a^2b^4) = (ab*(a^2-b^3) )/(a^2b^2*(a-b^2))` `= (a^2-b^3)/(ab*(a-b^2))`

A7 b)
`(x^7y^2-xy^8)/(x^6y-x^3y^4)= (xy^2(x^6-y^6))/(x^3y(x^3-y^3))` `=(y(x^3+y^3)(x^3-y^3))/(x^2(x^3-y^3)) ` `= (y(x^3+y^3))/x^2`

A7 c)
`(9ab^2x^2+6ab^2x^3+15ac^3x^2+10ac^3x^3)/(3x^2+2x^3)` `= (3ab^2 x^2(3+x) + 5ac^3x^2(3+2x))/(x^2(3+2x)) ` `= (x^2(3+2x)(3ab^2+5ac^3))/(x^2(3+2x))`
`= 3ab^2+5ac^3`

A7 d)
`(am+bm-an-bn)/(a^2-b^2) = (m(a+b)-n(a+b))/((a+b)(a-b))` `= ((a+b)(m-n))/((a+b)(a-b)) = (m-n)/(a-b)`

A8 a)
`1/x^2 + 1/x = 1/x^2 + x/x^2 = (1+x)/x^2`

A8 b)
`5/(u^8v) - 1/(u^6v^3) - 2/(u^4v^5) = (5v^4)/(u^8v^5) +(u^2v^2 )/(u^8v^5) +(2u^4)/(u^8v^5) ` `= (5v^4+u^2v^2+2u^4 )/(u^8v^5)`

A8 c)
`a/(bc) + b/(ac) + c/(ab) = (a^2)/(abc)+ (b^2)/(abc)+ (c^2)/(abc)` `= (a^2+b^2+c^2)/(abc)

A8 d)
`(3a^2+1)/(a^2+3a) - (2a+1)/(a+3) = (3a^2+1)/(a*(a+3)) - (a*(2a+1))/(a*(a+3)) ` `= (3a^2+1-a*(2a+1))/(a*(a+3)) = (3a^2+1-2a^2-a)/(a*(a+3)) ` `= (a^2-a+1)/(a*(a+3))`

A8 e)
`(a^2-5)/(a^2-4) - (a+1)/(a-2) + (a-1)/(a+2) ` `= (a^2-5)/((a+2)(a-2))-((a+2)(a+1))/((a+2)(a-2)) + ((a-2)(a-1))/((a-2)(a+2))` `= (a^2-5 - (a^2+a+2a+2)+a^2-a-2a+2)/((a+2)(a-2)) ` `= (a^2-5 -a^2-3a-2+a^2-3a+2)/((a+2)(a-2)) ` `= (a^2-6a-5)/((a+2)(a-2))`

A8 f)
`x/(x+y) + y/(x-y) = ((x-y)*x)/((x-y)(x+y)) + ((x+y)*y)/((x+y)(x-y))` `= (x^2-xy)/ ((x-y)(x+y))+(xy+y^2)/((x-y)(x+y))` `= (x^2-xy+xy+y^2)/((x-y)(x+y)) = (x^2+y^2)/((x-y)(x+y))=(x^2+y^2)/(x^2-y^2)`

A2 a) `3^5 *3^2 = 3^7`		A2 b) `sqrt(7)^2sqrt(7)^3 = sqrt(7)^5 = sqrt(7)^4sqrt(7)=49sqrt(7)`
A2 c) `(u-v)^9*(u-v) = (u-v)^10 `		A2 d) `93^(k+1) = 3^23^(k+1) = 3^(k+3) `
A2 e) `w^n*w^(n+1) = w^(2n+1) `		A2 f) `(a^n)/(a^(n+1)) = a^(n-(n+1)) = a^-1 = 1/a `
A2 g) `(u^(k+2m)v^n)/(u^(2k+3m)v^(n-1)) `		A2 h) `(b^(n+2)ac^2)/(a^2b^(3n)c^(-n)) = a^(1-2)b^(n+2-3n)c^(2-(-n)) ` `= a^-1b^(-2n+2)c^(n+2) `
A2 i) `((a+b)^7y^2q^k)/(yq(a^2+2ab+b^2)) = ((a+b)^5(a+b)^2yyqq^(k-1))/(yq(a+b)^2) = (a+b)^5yq^(k-1) `

A3 a) `2^33^3 = (23)^3 = 6^3`		A3 b) `sqrt(3)^3sqrt(2^3 = (sqrt(8)sqrt(2))^3 = sqrt(16)^3 = 4^3 = 64 `
A3 c) `3x^4y^4*z^4 = 3(xyz)^4 `		A3 d) `(a^2)^nb^nc^n = (a^2bc)^n `
A3 e) `((u-v)/v)^(2k)(u/(v-u))^(2k)` ` = (((u-v)u)/((v-u)*v))^(2k)=(u/v)^(2k) `		A3 f) `((10ab)^k)/((4b)^k) = `
A3 g) `(a/b)^n(a^n)/(b^n)= (a^na^n)/(b^n*b^n) = (a/b)^(2n)`		A3 h) `(x/y)^n(x^ny^m)/(y^mx^n) = (x^nx^ny^m)/(y^ny^m*x^n) = (x/y)^n `
A3 i) `((4ab)^3)/((6a^2)^3)* 5/(b^3) = (2^32^3a^3b^35)/(2^33^3a^6b^3) = 5(2/(3a))^3`