Algebra Mittelstufe
in Frage&Antwort
© bGeiring hGeiring FA v31
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`1/(a+b) + 1/(a-b) = ?`
`= (a-b)/((a+b)*(a-b))+(a+b)/((a+b)*(a-b)) `
`= (a-b+a+b)/((a+b)*(a-b))`
`= (2a)/((a+b)*(a-b))`
`= (2a)/(a^2-b^2)`
`1/d+1/d = 2/d`
Richtig?
Richtig.
`(a-b)(a-b) = a^2 - b^2`
Richtig?
Falsch.
`(a-b)(a-b) = a^2 - 2ab + b^2`
`(x+3)^2 = ?`
`= x^2+6x+9`
`(4-y)^2 = ?`
`= 16-8y+y^2`
`(5-x)(5+x) = ?`
`= 25-x^2`
`(3x+1)^2 = ?`
`= 9x^2+6x + 1`
`x^4+x^4 = x^8`
Richtig?
Falsch.
`x^4+x^4 = 2x^4`
`root3(x) = x^-3`
Richtig?
Falsch.
`root3(x) = x^(1/3)`
`log(c+d) = log(c)+log(d)`
Richtig?
Falsch.
`log(c+d)` kann man nicht aufteilen.
`log(c*d) = log(c)*log(d)`
Richtig?
Falsch.
`log(c*d) = log(c)+log(d)`
Logarithmus erniedrigt die Rechenart Mal zu Plus.
`(u+v)/u = v`
Richtig?
Falsch.
Aus Summen darf man nicht kürzen.
Nur Faktoren, die im Zähler und im Nenner vorkommen,
darf man kürzen.
`(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2`
Richtig?
Ja.
`(b/a) = (b*a)^-1`
Richtig?
Falsch.
`(b/a) = b*a^-1`
`(x+2)*(x-2) = x^2 - 4`
Richtig?
Ja.
`a/-b = -a/b`
Richtig?
Ja.
`log(3^n) = n*log(3)`
Richtig?
Ja.
`(a-b)/a = -(b-a)/a`
Richtig?
Ja.
`(a-b)/a = (-b+a)/a = (-(b-a))/a = -(b-a)/a`
`(a-b)^4 = a^4-b^4`
Richtig?
Falsch.
`(a-b)^4 = (a-b)*(a-b)*(a-b)*(a-b)`
`= (a^2-2ab+b^2)(a^2-2ab+b^2)`
`= a^4-2a^3b+a^2 b^2-2a^3b+4a^2b^2-2ab^3+b^2a^2-2ab^3+b^4`
`= a^4-4a^3b+6a^2 b^2- 4a b^3 + b^4`
`x^a*x^b = x^(a*b)`
Richtig?
Falsch.
`x^a*x^b = x^(a+b)`
`(4x)^3 = 4x^3`
Richtig?
Falsch.
`(4x)^3 `
`= (4x)*(4x)*(4x) `
`= 4^3*x^3 `
`= 64::x^3`
Fasse zusammen:
`u^(3k)v^k`
`= (u^3)^k * v^k` jetzt gleiche Hochzahl k
`= (u^3 v)^k`
`sqrt(4+9) = sqrt(4)+sqrt(9)`
Richtig?
Falsch.
`sqrt(13) = sqrt(4+9) rot(!=) sqrt(4)+sqrt(9) = 2 + 3 = 5`
`a/b= a*b^-1`
Richtig?
Ja.
`(uv)/v = u`
Richtig?
Ja.
`5-3^2 = 4`
Richtig?
Falsch.
`5-3^2 = 5-9 = -4`
Potenzierung zuerst: `3^2 = 9`
`1/2 + 3/4 = (1+3)/(2+4)`
Richtig?
Falsch.
`1/2 + 3/4`
`= 2/4 + 3/4`
`= 5/4`
Vereinfache:
`(-a^k)^4`
`= (-1)^4*(a^k)^4`
`= (-1)^4*a^(k*4)`
`= a^(4k)`
Schreibe ohne Dezimalzahl:
`4/(0,2a)`
`=40/(2a)`
`= 20/a`
Im Endergebnis darf ein Bruch keine Dezimalzahl enthalten.
`sqrt(8)*sqrt(2) = 4`
Richtig?
Ja.
`sqrt(8)*sqrt(2)`
` = sqrt(8*2) `
`=sqrt(16)`
`=4`
`(a^2*b^3)/(a^3*b^2) = b/a`
Richtig?
Ja.
`b^0 = b`
Richtig?
Falsch.
`b^0 = 1`
`a/b^0 = a/b`
Richtig?
Falsch.
`a/b^0 = a/1 = a`
`1/a + 1/b = 1/(a+b)`
Richtig?
Falsch.
`1/a + 1/b`
`= b/(a*b) + a/(a*b)`
`= (b+a)/(a*b)`
`2^(-4) = - 1/16`
Richtig?
Falsch.
`2^(-4) = 1/16`
`3a^2+a = 4a^2`
Richtig?
Falsch.
`3a^2+a=a(3a+1)`
`c/(-d)=(-c)/d`
Richtig?
Ja.
`-e*d = e*(-d)`
Richtig?
Ja.
`a*(b+c) = ab :: * :: ac`
Richtig?
Falsch.
`a*(b+c) = ab+ac`
`16^(1/2) = 4`
Richtig?
Ja.
`16^(1/2) = sqrt(16) = 4`
`(4+a)/(2+a) = (2+a)/a`
Richtig?
Falsch.
Aus Summen und Differenzen darf man nicht kürzen.
Der linke Term kann nicht vereinfacht werden.
`(4+a)/(2+a) = 4/2 = 2`
Richtig?
Falsch.
Aus Summen und Differenzen darf man nicht kürzen.
Der linke Term kann nicht vereinfacht werden.
`(a-b)*(-c) = bc-ac`
Richtig?
Ja.
Schreibe mit einem Bruchstrich:
`(\ 1/2\ )/3 = ?`
`= 1/(2*3) = 1/6`
Schreibe mit einem Bruchstrich:
`(\ 2/3\ )/(1/5) = ?`
`= 2/3 * 5/1 = 10/3`
`2^(-3) = -8`
Richtig?
Falsch.
`2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8`
Nenne ein Distributivgesetz mit a, b, c.
`a*(b+c) = ab + ac`
oder
`(a+b)*c = a*c + b*c`
Schreibe mit einem Bruchstrich:
`(\ a/b\ )/c = ?`
`= a/(b*c)`
Schreibe mit einem Bruchstrich:
`(\ c/d\ )/(g/h) = ?`
`= c/d * h/g `
`= (c*h)/(d*g)`
`c(a+b):: - :: d(a+b) = (c-d)(a+b)`
Richtig?
Ja.
`sin(alpha) = G/H`
Richtig?
Ja.
G: Gegenkathete
H: Hypotenuse
`cos(alpha) = A/H`
Richtig?
Ja.
A: Ankathete
H: Hypotenuse
`1/d+1/(d+1) = 2/(d+1)`
Richtig?
Falsch.
Man muss zuerst den Hauptnenner bilden:
`1/d + 1/(d+1)`
`= (d+1)/(d*(d+1)) + d/(d*(d+1))`
`= (2d+1)/(d*(d+1)`
`tan(alpha) = G/A`
Richtig?
Ja.
G: Gegenkathete
A: Ankathete
`tan(alpha) = A/G`
Richtig?
Falsch.
`tan(alpha) = G/A`
G: Gegenkathete
A: Ankathete
`sin(alpha) = A/H`
Richtig?
Falsch
`sin(alpha) = G/H`
G: Gegenkathete
H: Hypotenuse
`sin^-1(30°) = 1/2`
Richtig?
Falsch.
`sin^-1(1/2) = 30°`
`sin(alpha)` ist ein Winkel.
Richtig?
Falsch.
`sin(alpha)` ist eine reine Zahl im Intervall [-1; 1].
`alpha` ist ein Winkel.
`-3^2 = 9`
Richtig?
Falsch.
`-3^2 = -(3^2) = -9`
Vorrangregel: Potenzierung vor Plusminus
`-(a-b) = b-a`
Richtig?
Ja.
`c/d*c/e=c^2/(de)`
Richtig?
Ja.
`9*3^k = 3^(k+2)`
Richtig?
Ja.
`9*3^k = 3^2*3^k = 3^(2+k)= 3^(k+2)`
`x^3-2x^2+3`
Klammere aus.
Es ist hier nicht möglich, einen Faktor auszuklammern.
`x^3-2x^2+3x^4`
Klammere aus.
`=x^2(x-2+3x^2)`
`=x*(x^2-2x+3x^3)` ist auch richtig,
aber unvollständig ausgeklammert.
Bringe auf einen Bruch:
`1/x + 1/x^3`
`=x^2/(x*x^2) + 1/x^3`
`=x^2/(x^3) + 1/x^3`
`=(x^2+1)/x^3`
Löse
`x^2 = 9`
`x_{1,2} = +- 3`
Zerreiße den Bruch:
`(a+b)/a^2`
`= a/a^2+b/a^2`
`= 1/a +b/a^2`
`2^-4 = 1/16`
Richtig?
Ja.
`2^-4 = 1/2^4 = 1/16`
Zerreiße den Bruch:
`a^2/(a+b)`
Der Bruch ist nicht in zwei
Brüche aufteilbar.
Schreibe ohne Bruchstrich:
`(a^2*b^m)/(a^n*b^3)`
`=a^(2-n)*b^(m-3)`
Fasse zusammen:
`a^2*a^(n-1)`
`= a^(2+n-1)`
`= a^(1+n)`
`a^(1+n) = a*a^n`
Richtig?
Ja.
`a^(1+n) = a^1*a^n = a*a^n`
Vorrangregeln?
1. Innere Klammer
2. Äußere Klammer
3. Potenzieren
4. Multiplizieren/Dividieren
5. Addieren/Subtrahieren
Berechne schrittweise nach den Vorrangregeln:
`[2+(3-4)*(5-2)^3]*2`
`=[2+(-1)*3^3]*2` innere Klammern zuerst
`=[2+(-1)*27]*2` Potenzieren
`=[2-27]*2` Punkt vor Strich
`=[-25]*2` Klammer
`=-50`
Vereinfache:
`(a-b)^2*(a-b)^(2k)`
`=(a-b)^(2+2k)`
Kürze:
`((a+b)^2)/(a^2-b^2)`
`= ((a+b)(a+b))/((a+b)(a-b))`
`= (a+b)/(a-b)`
Kürze:
`((2a^2b)^5)/(a^5 b^5)`
`=(2^5a^10b^5)/(a^5 b^5)`
`=2^5* a^(10-5)*b^(5-5)`
`=32*a^5`
Klammere aus:
`3x^3+9x^2+6x`
`=3x(x^2+3x+2)`
Klammere schrittweise aus:
`ac+bc :: - :: ad-bd`
`=ac+bc :: - :: (ad+bd)`
`=c(a+b):: - :: d(a+b)`
`=(c-d)(a+b)`
Schreibe ohne Bruchstrich:
`2/(x+y)^3`
`= 2*(x+y)^-3`
Schreibe ohne Wurzel und ohne Bruchstrich:
`sqrt(4/x^3)`
`= (4/x^3)^(1/2)`
`= (4*x^-3)^(1/2)`
`= 4^(1/2)*(x^(-3/2))`
`= 2*x^(-3/2)`
`(a+b)/(c+d) = a/(c+d) + b/(c+d)`
Richtig?
Ja.
`x^2 = 9`
Die Lösung dieser Gleichung ist
`x_1 = 3`
Richtig?
Falsch.
Die zweite Lösung `x_2 = -3` fehlt.
Richtig:
`x_1 = 3` oder `x_2 = -3`
`a^b/a^c = a^(b-c)`
Richtig?
Ja.
`root3(a^b) = a^(b/3)`
Richtig?
Ja.
`rootc(x) = x^(1/c)`
Richtig?
Ja.
`2^(-1) = -2`
Richtig?
Falsch.
`2^(-1) = 1/2 = 0,5`
Hauptnenner von
d+3 und d+6 ?
Der Hauptnenner der beiden Nenner ist
(d+3)(d+6)
`log(a) = log_10(a)`
Richtig?
Ja.
Wenn man die Basis weglässt, ist Basis 10 gemeint.
`a+(b+c) = a+b+c`
Richtig?
Ja.
Das Assoziativgesetz ist das Klammer-Weglassungsgesetz.
`(a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c`
`-a+2b = 2b-a`
Richtig?
Ja.
`-a+2b = a-2b`
Richtig?
Nein.
`-a+2b = 2b - a`
Schreibe `2^3=8` gleichwertig
mit Logarithmus.
`log_2(8) = 3`
Schreibe `2^3=8` gleichwertig
mit Wurzel.
`root3(8) = 2`
`1/(a^2-b^2) - 1/(a+b) = ?`
`= 1/((a+b)*(a-b)) - (a-b)/((a+b)*(a-b))`
`= (1-a+b)/((a+b)*(a-b))`
`= (1-a+b)/(a^2-b^2)`
Hauptnenner von
d+3 und d-3 ?
Der Hauptnenner der beiden Nenner ist
`(d+3)(d-3)=d^2-9`
Hauptnenner von
a+3 und 2a+6 ?
Der Hauptnenner der beiden Nenner ist
`2a+6 = 2*(a+3)`