Markieren Sie die Randextrema von f. `D_{f} = [-2; 1]` agraph graphsize=0.5;xmin=-2.5; xmax=1.5; ymin=-2.5; height=360; xscl=1; strokewidth=2; plot("(x+1)^2-2", -2, 1, 30); fill="blue"; circle([-2,-1], 0.1); circle([1,2], 0.1); endagraph
Extrema sind y-Werte (grün): agraph graphsize=0.5;xmin=-2.5; xmax=1.5; ymin=-2.5; height=360; xscl=1; strokewidth=2; plot("(x+1)^2-2", -2, 1, 30); fill="blue"; circle([-2,-1], 0.1); circle([1,2], 0.1); stroke="green"; strokewidth=3; line([-2,0], [-2,-1]); line([1,0], [1,2]); endagraph Die Randextrema sind `y_1 = -1` und `y_2 = 2`. Beide Randextrema sind Maxima.
Welche Stelle ist eine innere Extremstelle von f? `D_{f} = [-2; 1]` agraph graphsize=0.5;xmin=-2.5; xmax=1.5; ymin=-2.5; height=360; xscl=1; strokewidth=2; plot("(x+1)^2-2", -2, 1, 30); fill="blue"; circle([-2,-1], 0.1); circle([1,2], 0.1); endagraph
Nur die Stelle `x_1 = -1` (grün) ist innere Extremstelle von f: agraph graphsize=0.5;xmin=-2.5; xmax=1.5; ymin=-2.5; height=360; xscl=1; strokewidth=2; plot("(x+1)^2-2", -2, 1, 30); fill="blue"; circle([-2,-1], 0.1); circle([1,2], 0.1); strokewidth=1; strokedasharray="2,4"; line([-1,ymin], [-1,ymax]); strokedasharray="none"; stroke="green"; strokewidth=3; line([-1,0], [0,0]); endagraph Die beiden anderen Extremstellen sind Randextremstellen.
Welche Extremstellen kann man nicht mit der Ableitung bestimmen, obwohl f ableitbar ist?
An den Randextremstellen muss f keine waagrechte Tangente haben.
Die Ränder müssen durch Betrachten der Skizze des Graphen von f extra untersucht werden.
Eine Funktion mit Definitionsmenge `RR` hat keine Ränder, also keine Randextremstellen.
Geben Sie alle Extremstellen von f an. `D_{f} = (-2; 1)` agraph graphsize=0.5;xmin=-2.5; xmax=1.5; ymin=-2.5; height=360; xscl=1; strokewidth=2; plot("(x+1)^2-2", -2, 1, 30); fill="blue"; Luecke([-2,-1], "blue"); Luecke([1,2], "blue"); endagraph
`x_1 = -1` ist einzige Extremstelle von f.
`D_f` ist links und rechts offen, deshalb gibt es an den Rändern keine Extremstellen.
Was alles kann man über den grünen Strich aussagen? `D_{f} = [-2; 1]` agraph graphsize=0.5;xmin=-2.5; xmax=1.5; ymin=-2.5; height=360; xscl=1; strokewidth=2; plot("(x+1)^2-2", -2, 1, 30); fill="blue"; circle([-2,-1], 0.1); circle([1,2], 0.1); strokewidth=3; stroke="green"; line([-1,0], [-1,-2]); endagraph
`-2` ist der Funktionswert von f an der inneren Stelle `x = -1` . `-2` ist lokales Minimum von f. `-2` ist globales Minimum von f.
Wie lautet das Kriterium für eine innere Extremstelle `x_0` einer Funktion f ?
`f´(x_0) = 0` und `f´` macht VZW in `x_0` .
VZW: Vorzeichenwechsel
`f´(x_0) = 0` und `f´´(x_0) != 0` `<=>` f hat innere Extremstelle `x_0` .
Richtig?
Falsch. Von oben nach unten gilt die Aussage, von unten nach oben gilt sie nicht.
Gegenbeispiel: `f(x) = x^4` mit `x_0 = 0` .
`H(3|2)` ist innerer Hochpunkt von f . Was weiß man dann über `f´(3)` ?
`f´(3) = 0` und `f´` macht VZW in `x = 3` von Plus nach Minus.
Wie lautet das Kriterium für eine Wendestelle `x_0` einer Funktion f ?
`f´´(x_0) = 0` und `f´´` macht VZW in `x_0` .
VZW: Vorzeichenwechsel
Wenn `f´´(x_1) = 0` und `f´´´(x_1) !=0` , dann ist `x_1` Wendestelle von f .
Richtig?
Ja.
Wenn `x_1` Wendestelle von f ist, dann ist `f´´(x_1) = 0` und `f´´´(x_1) != 0` .
Richtig?
Falsch. Der Satz gilt nur von unten nach oben.
Gegenbeispiel: `f(x) = x^3` mit `x_1 = 0` .
`=>` bedeutet ?
daraus folgt
`A => B` bedeutet: Aus A folgt B. A und B müssen Aussagen sein.
`<=>` bedeutet ?
ist gleichbedeutend mit
`A <=> B` bedeutet: A ist gleichbedeutend mit B. A und B müssen Aussagen sein.
`A <=> B` ist eine Abkürzung für `A => B` und `B => A` .
Wie findet man rechnerisch innere Extremstellen einer Funktion f ?
1. f ableiten. 2. `f´(x) = 0` setzen und nach x auflösen. 3. Überprüfen, ob die in Punkt 2 gefundenen Stellen im Inneren der Definitionsmenge von f liegen. 4. Für die in Punkt 2 gefundenen Stellen überprüfen, ob ein Vorzeichenwechsel von `f´` stattfindet.
`f´(x) = 0` führt auf `x_1 = 3` . Wie führt man eine Überprüfung auf Vorzeichenwechsel von `f´` durch?
Man vergewissert sich, dass zwischen x = 2 und x = 4 keine weitere Stelle mit `f´(x) = 0` liegt.
Man berechnet `a = f´(2)` und `b = f´(4)` . Wenn a < 0 und b > 0 ist, liegt VZW in `x_1 = 3` vor. Wenn a > 0 und b < 0 ist, liegt ebenfalls VZW in `x_1 = 3` vor.
Man kann auch `a=f´(2,9)` berechnen und `b=f´(3,1)` , also näher dran an `x_1 = 3` . Aber dazu braucht man meist einen Taschenrechner.
Schätzen Sie die Koordinaten der Wendepunkte: agraph xscl=1; plot(-1/12*(x-4)*(x-2)*(x+3)-1); endagraph
agraph xscl=1; plot(-1/12*(x-4)*(x-2)*(x+3)-1); dot([1, -2], "", "W", "rightbelow"); endagraph Es gibt nur einen Wendepunkt.
Berechnen Sie die Wendestellen von f mit `f(x) = -1/12 x^3+1/4 x^2 + 5/6 x - 3`
`f´(x) = 1/4 x^2 - 1/2 x + 5/6` `f´´(x) = 1/2 x - 1/2` `f´´´(x) = 1/2 != 0` für alle x Wendestellen: `f´´(x) = 0` `0 = 1/2 x - 1/2` `|+ 1/2` `1/2 = 1/2 x` `x_1 = 1` ist einzige Wendestelle von f .
Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von f mit `f(x) = x^3 - 3x^2`
`f´(x) = 3x^2 - 6x` `f´´(x) = 6x - 6` Extremstellen: `f´(x) = 0`
`##
0 = 3x^2-6x
0 = x^2-2x
0 = x*(x-2)
x_1=0 oder x-2=0
# # x_2=2
##`
`f´´(x_1) = f´´(0) = 0-6 < 0 \ =>\ H(0|f(0))=(0|0)` ist Hochpunkt von f . `f´´(x_2) = f´´(2) = 12-6 > 0 \ =>\ T(2|f(2))=(2|-4)` ist Tiefpunkt von f . f hat keine weiteren Hoch- oder Tiefpunkte.
W(2|3) ist Wendestelle von f . Richtig?
Falsch. Stellen können nur x-Werte sein, keine Punkte.
Richtig wäre: 2 ist Wendestelle von f .
H(1|4) ist Extremum von f . Richtig?
Falsch.
Ein Extremum ist ein Extremwert, also ein y-Wert. H ist ein Punkt und kein Wert.
Richtig wäre: 4 ist Extremum von f .
Was ist ein Extremum?
Ein Extremum ist ein Extremwert, ein Maximum oder ein Minimum einer Funktion.
Ein Maximum ist ein y-Wert, in dessen Nähe sich kein größerer y-Wert befindet.
Ein Minimum ist ein y-Wert, in dessen Nähe sich kein kleinerer y-Wert befindet.
Was ist eine Umgebung U von `x_0` ?
Sei I = (`x_0 - a`; `x_0 +a`) mit a > 0.
Wenn U mindestens ein offenes Intervall I enthält, dann ist U eine Umgebung von `x_0` .