Erneuert:   2014-02-03   22:17

Lösungen Blatt S. 96

Aufg. 3a)
`f(x) = 1/2 x`;   `g(x) = -x^2+4`;   [-1; 1]`
Schnitt von f und g:    `f(x) = g(x)`
`## 1/2x = -x^2+4 x^2+1/2x-4 = 0 2x^2+x-8 = 0 x_(1,2) = (-1+-sqrt(1+4*2*8))/(2*2) x_(1,2) = (-1+-sqrt(65))/4 x_1~~-2,27 oder x_2~~1,77 ##`
Im Intervall [-1; 1] liegt keine Schnittstelle von f und g.
`f(0) = 0`;   `g(0) = 4`;   Da `g(0) > f(0)` ist, liegt g über f .
Sei A der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g .
`A = int_(-1)^1 (g(x)-f(x))dx = int_(-1)^1 (-x^2+4 - 1/2x)dx`
`= [-1/3 x^3 +4x -1/4 x^2]_(-1)^1 = -1/3 + 4 - 1/4 - (-1/3 (-1)^3 + 4*(-1) - 1/4 (-1)^2)`
`= -1/3 + 4 - 1/4 - 1/3 + 4 + 1/4 = -2/3 +8 = -2/3+ 24/3 = 22/3`
Der Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und g
sowie den Geraden x=-1 und x=1 begrenzt wird, ist `22/3` FE.
agraph ymin=-2.5; xscl=1; xyAchsen2(); plot(1/2x); plot(-x^2+4); fill="yellow"; fillopacity=0.5; inhalt2("-x*x+4", "1/2*x", -1, 1); endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.

Aufg. 3b)
`f(x) = x^3`;   `g(x) = x`;   [0; 1]`
Schnitt von f und g:    `f(x) = g(x)`
`## x^3 = x x^3-x = 0 x(x^2-1) = 0 x_1=0 oder x^2-1 = 0 # # x^2 = 1 # # x_(2,3) = +-1 ##`
Im Intervall (0; 1) liegt keine Schnittstelle von f und g.
`f(0,5) = 0,5^3 = 0,125`;   `g(0,5) = 0,5`;   Da `g(0) > f(0)` ist, liegt g über f .
Sei A der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g .
`A = int_0^1 (g(x)-f(x))dx = int_0^1 (x-x^3)dx`
`= [1/2 x^2 - 1/4 x^4]_0^1 = 1/2 - 1/4 - 0`
`= 2/4 - 1/4 = 1/4`
Der Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und g
sowie den Geraden x=0 und x=1 begrenzt wird, ist `1/4` FE.
agraph ymin=-1.2; xmin=-1.5; xmax=2.5; xscl=1; xyAchsen2(); plot(1x); plot(x^3); fill="yellow"; fillopacity=0.5; inhalt2("x", "x*x*x", 0, 1); endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.




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