Erneuert:   2014-02-03   22:19

Lösungen Blatt S. 96

Aufg. 4a)
`f(x) = x^3`;   `g(x) = -x^2+4x`
Schnitt von f und g:    `f(x) = g(x)`
`## x^3 = -x^2+4x x^3+x^2-4x = 0 x(x^2+x-4) = 0 x_1=0 oder x^2+x-4 = 0 # # x_(2,3) = (-1+-sqrt(1+4*4))/2 # # x_2=(-1-sqrt(17))/2~~-2,56 oder x_3=(-1+sqrt(17))/2~~1,56 ##`
Im Intervall `(x_2; x_3)` liegt die Schnittstelle `x_1 = 0` von f und g.
`f(-1) = (-1)^3 = -1`;   `g(-1) = -(-1)^2 + 4*(-1) = -1-4 = -5`;  
da `f(-1)> g(-1)` ist, liegt f über g im Intervall `(x_2; 0)`.
`f(1) = 1`;   `g(1) = -1 +4 = 3`;   da `g(1) > f(1)` ist, liegt g über f im Intervall `(0; x_3)` .

Sei A der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g .
`A = int_(x_2)^0 (f(x)-g(x))dx + int_0^(x_3) (g(x)-f(x))dx`
`= int_(x_2)^0 (x^3-(-x^2+4x))dx + int_0^(x_3) (-x^2+4x - x^3)dx`
`= [1/4 x^4 + 1/3 x^3 - 2 x^2 ]_(x_2)^0 + [-1/3 x^3 +2 x^2 -1/4 x^4 ]_0^(x_3)`
`~~7,96 + 2,12 = 10,08 ` (mit GTR berechnet)

Der Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und g
begrenzt wird, ist `~~ 10,08` FE.
agraph ymin=-17.5; height=600; xscl=1; xyAchsen2(); x2=-2.56; x3=1.56; stroke="black"; line([x2,-18], [x2,6]); line([x3,-18], [x3,6]); stroke="green"; plot(-x^2+4x); fill="yellow"; fillopacity=0.5; inhalt2("-x^2+4x", "x*x*x", x2, x3); text([-2,-2], "f", "right" ); text([3,3], "g", "right" ); fill="none"; stroke="blue"; plot(x^3); endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.




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