Erneuert: 2014-02-03 22:20
Lösungen Blatt S. 96
Aufg. 5b)
`f(x) = (x-2)^4`; `P(0|16)`
Tangente an f in P:
`y = f´(0)*(x-0)+16`
`f´(x) = 4*(x-2)^3`;
`f´(0) = 4*(-2)^3 = 4*(-8) = -32`
Tangente: `y = -32*x+16`
Nullstellen der Tangente:
`##
0 = -32*x+16
32x = 16
x_1 = 1/2
##`
`f(1/2) = (1/2-2)^4 = (-1,5)^4 > 0`; also liegt f über der Tangente in `x_1 = 1/2` .
Nullstellen von f: `f(x) = 0`
`##
(x-2)^4 = 0
x-2 = 0
x_2 = 2
##`
Sei A der Inhalt der gesuchten Fläche.
`A = A_"gelb" + A_"rosa"`
` = int_0^0,5 (f(x) - y)dx + int_0,5^2 f(x)::dx`
`= int_0^0,5 ((x-2)^4 - (-32x+16))dx + int_0,5^2 (x-2)^4::dx`
`= int_0^0,5 ((x-2)^4 +32x-16)dx + int_0,5^2 (x-2)^4::dx`
`= [1/5(x-2)^5 + 16 x^2 - 16x]_0^0,5 + [1/5(x-2)^5]_0,5^2`
`= 1/5*(-1,5)^5 + 16*0,5^2 - 16*0,5 - 1/5*(-2)^5 + 0- 1/5*(-1,5)^5`
`= 16/4 - 16/2 + 32/5 = 4-8 + 6,4 = 2,4`
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, von der
Tangente in P und
der x-Achse begrenzt wird,
ist 2,4 FE.
agraph
xmin=-1.5;
xmax=2.5;
ymin=-1.5;
height=600;
xscl=1;
xyAchsen2();
x2=-2.56;
x3=1.56;
stroke="green";
plot((x-2)^4);
fill="yellow";
fillopacity=0.5;
inhalt2("(x-2)*(x-2)*(x-2)*(x-2)", "-32*x+16", 0, 0.5);
fill="pink";
inhalt("(x-2)*(x-2)*(x-2)*(x-2)",0.5, 2);
text([-2,-2], "f", "right" );
text([3,3], "g", "right" );
fill="none";
stroke="blue";
plot(-32x+16);
stroke="black";
line([0.5, -2], [0.5, 7]);
endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.
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