Erneuert:   2014-02-03   22:21

Lösungen Blatt S. 96

Aufg. 6c)
`f(x) = -1/4x^3+2`;   `P(-2|4)`
Normale an f in P:
`y = -1/(f´(-2))*(x+2)+4`
`f´(x) = -3/4*x^2`;
`f´(-2) = -3/4*(-2)^2 = -3`
Normale:   `y = 1/3* (x+2)+4`
`y = 1/3 x + 2/3 + 12/3`
`y = 1/3 x+14/3`

Nullstellen der Normalen:
`## 0 = 1/3x+14/3 0 = x + 14 x_1 = -14 ##`

Nullstellen von f:    `f(x) = 0`
`## -1/4x^3+2 = 0 1/4x^3 = 2 x^3 = 8 x_2 = root3(8) x_2 = 2 ##`

Sei A der Inhalt der gesuchten Fläche. `A_"gelb"` ist Dreiecksfläche.
`A = A_"gelb" + A_"rosa"`
` = 1/2*12*4 + int_-2^2 f(x)::dx`
` = 24 + int_-2^2 (-1/4x^3+2)dx`
`= 24 + [-1/16 x^4+2x]_-2^2 = 24 -1/16*2^4 + 2*2 - (-1/16)(-2)^4+2*(-2)`
`= 24 - 1 + 4 - (-1 - 4) = 32 `

Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, von der
Normalen in P und der x-Achse begrenzt wird,
ist 32 FE.
agraph ymin=-1.5; xmin=-14.5; xmax=2.5; width=500; xscl=1; xyAchsen2(); x2=-2.56; x3=1.56; stroke="green"; plot(-1/4*x^3+2); fill="yellow"; fillopacity=0.5; inhalt( 1/3*x+14/3, -14, -2); fill="pink"; inhalt(-0.25*x*x*x+2, -2, 2); text([1.2,1.8], "f", "right" ); text([-6,3], "Normale", "right" ); fill="none"; dot([-2,4], "", "P", "aboveleft"); stroke="blue"; plot(1/3x+14/3); stroke="black"; line([-2, -2], [-2, 7]); endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.




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