Erneuert:   2014-02-03   22:27

Lösungen Blatt S. 96

Aufg. 7b)
`f(x) = -1/3x^3+2x `
`f´(x) = -x^2+2`
`f´´(x) = -2x`
`f´´´(x) = -2 != 0`   für alle   `x in RR` .
Wendepunkt von f:    `f´´(x) = 0 ` und `f´´´(x) != 0`
`## f´´(x) = 0 -2x = 0 x_1 = 0 ##`
`W(0|f(0))=(0|0)` ist einziger Wendepunkt von f .
Die Steigung von f in W ist `f´(0) = -(0^2) + 2 = 2` .
Die Steigung der Normalen ist `m_n = -1/(f´(0)) = -1/2` .
Die Normale im Wendepunkt ist `y = -1/2x` .
Schnitt der Normalen mit dem Schaubild von f:
`## y = f(x) -1/2x = -1/3x^3+2x 0 = -1/3x^3+2,5x 0 = x(-1/3x^2+2,5) x_1=0 oder -1/3x^2+2,5 = 0 # # 1/3x^2 = 2,5 # # x^2 = 7,5 # # x_(2,3) = +-sqrt(7,5) # # x_2~~-2,74 oder x_3~~2,74 ##`
`f(1) = -1/3 1^3+2*1 = -1/3 + 2 > -1/2 1 = -1/2 = y`
Also liegt f im Intervall `(0; x3)` über der Normalen und
im Intervall `(x_2; 0)` unter der Normalen, sonst wäre W
kein Wendepunkt.

Sei A die Fläche zwischen dem Graphen von f und der
Normalen im Wendepunkt von f .
`A = int_(x_2)^0 (-1/2x + 1/3x^3-2x) dx + int_0^(x_3) (1/2x - 1/3x^3+2x) dx `
`= int_(x_2)^0 (-2,5x + 1/3x^3) dx + int_0^(x_3) (2,5x - 1/3x^3) dx`
`= [-2,5/2x^2 + 1/3*1/4 x^4]_(-x_3)^0 + [2,5/2x^2 - 1/3*1/4 x^4]_0^(x_3)`
`= 0 - (-5/4 x_3^2 + 1/12 x_3^4) + 5/4 x_3^2 - 1/12 x_3^4 - 0`
`= 5/2 x_3^2 - 1/6 x_3^4 = 5/2 *7,5 - 1/6*7,5^2 = 75/8= 9,375`
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der
Normalen im Wendepunkt von f beträgt 9,375 FE.
agraph xscl=1; x2=2.74; stroke="green"; plot( -1/3*x*x*x+2*x ); fill="yellow"; fillopacity=0.5; inhalt2("-1/3*x*x*x+2*x", "-1/2*x", -x2, x2); fill="none"; stroke="blue"; plot(-1/2*x); endagraph Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.









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