Erneuert:   2014-02-03   22:28

Lösungen Blatt S. 96

Aufg. 9
`f_t(x) = tx^3-3(t+1)x `;   `t in RR^+`;   `y=-3x`
Schnitt von y mit `f_t` :
`## -3x = tx^3-3(t+1)x 0 = tx^3-3tx-3x+3x 0 = tx^3-3tx 0 = tx(x^2-3) tx=0 "oder" x^2-3 = 0 x_1=0 # x^2 = 3 # # x_(2,3) = +- sqrt(3) # # x_(2,3) ~~ +- 1,73 ##`

A(t) ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von
`f_t` und der Geraden `y = -3x` .
`f_t(1) = t*1^3-3(t+1)*1 = t-3t-3 = -2t - 3 < -3 = y` , denn `t > 0` .
Also liegt `f_t` unter der Geraden im Intervall `(0, sqrt(3))` .
`f_t(-1) = t*(-1)^3-3(t+1)*(-1) = -t+3t+3 = 2t + 3 > 3 `
`= -3*(-1) = y` , denn `t > 0` .
Also liegt `f_t` über der Geraden im Intervall `(-sqrt(3), 0)` .

`A(t) = int_-sqrt(3)^0 (f_t(x)-y) dx + int_0^sqrt(3) (-f_t(x)+y) dx`
`= int_-sqrt(3)^0 (tx^3-3(t+1)x-(-3x)) dx + int_0^sqrt(3) (-tx^3+3(t+1)x-3x)) dx`
`= int_-sqrt(3)^0 (tx^3-3tx) dx + int_0^sqrt(3) (-tx^3+3tx)) dx`
`= [t/4 x^4-3/2tx^2]_-sqrt(3)^0 + [-t/4 x^4+3/2tx^2]_0^sqrt(3)`
`= 0 - (t/4*3^2-3/2t*3) + (-t/4*3^2 + 3/2t*3 - 0)`
`= -9/4 t+9/2 t - 9/4 t + 9/2 t = -9/2 t+ 9t = 9/2 t`
`A(t) = 4,5::t`
agraph xscl=1; height=750; xyAchsen2(); // plot( -1/3*x*x*x+2*x ); fill="yellow"; fillopacity=0.5; // inhalt2("-1/3*x*x*x+2*x", "-1/2*x", -x2, x2); stroke="blue"; plot(-3*x); text([0.5,-2],"move mouse here", "right"); text([1.3,4.5], "t =", "right" ); endagraph Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.

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