Erneuert:   2014-02-03   22:31

Lösungen Blatt S. 96

Aufg. 10
`f_t(x) = (tx^2-4)/x^2 `;   `t in RR^+`;   `x=4/sqrt(t)`;   `y=t`
Nullstellen von `f_t` :    `f_t(x) = 0`
`## 0 = (tx^2-4)/x^2 0 = tx^2-4 tx^2 = 4 x^2 = 4/t x_1 = stackrel{+}{(-)}2/sqrt(t) ##`

A(t) sei der Inhalt der Fläche im 1. Quadranten zwischen dem Graphen von
`f_t`, den Koordinatenachsen, der Geraden `x=4/sqrt(t)` und der Geraden `y=t` .
A(t) besteht aus einem Rechteck `A_"gelb"` und einem gekrümmten Teil `A_"rosa"` .
Das Rechteck endet in der Nullstelle `x_1` von `f_t` und hat die Höhe t .
`A_"gelb" = x_1 * t = 2/sqrt(t)*t = (2t)/sqrt(t) = 2 sqrt(t)`
`A_"rosa" = int_(x_1)^(2x_1) (t-f_t(x))dx `
`= int_(x_1)^(2x_1) (t-(tx^2-4)/x^2)dx `
`= int_(x_1)^(2x_1) (t-((tx^2)/x^2-4/x^2))dx `
`= int_(x_1)^(2x_1) (t-(t-4/x^2))dx `
`= int_(x_1)^(2x_1) 4/x^2 dx `
`= int_(x_1)^(2x_1) 4x^-2 dx `
`= [ -4 x^-1 ]_(x_1)^(2x_1) `
`= -4*(2x_1)^-1 - (-4*x_1^-1)`
`= -2/x_1 + 4/x_1 = 2/x_1 = (2*sqrt(t))/2 = sqrt(t)`

`A(t) = A_"gelb" + A_"rosa" = 2sqrt(t)+sqrt(t) = 3sqrt(t)`
Der Inhalt der gesuchten Fläche in Abhängigkeit von t ist `3sqrt(t)` .
agraph xscl=1; xmin=-1.5; ymin=-1.5; height=600; width=600; xyAchsen2(); fill="yellow"; fillopacity=0.5; text([0.5,-0.5],"move mouse here", "right"); text([3.8,2.5], "t =", "right" ); endagraph Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.

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