Erneuert:   2014-02-03 22:33

Lösungen Blatt S. 96

Aufg. 11
`f_a(x) = a*sin(x) `;   `a in RR \\ {0}`;   `g_a(x) = -1/a*sin(x)`;   `x in [0; pi]`
a = 0 ist in `g_a` nicht einsetzbar.
Schnitt von `f_a` und `g_a` :    `f_a(x) = g_a(x)`
`## a*sin(x) = -1/a*sin(x) | :sin(x) a = -1/a a^2 = -1 # "k.L." ##`
Im offenen Intervall (0; pi) ist `sin(x) != 0`, also durfte durch `sin(x)` dividiert werden.
Die Graphen von `f_a` und `g_a` haben im offenen Intervall (0; pi) keine Schnittpunkte.

A(a) sei der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Kurven.
`A(a) = |int_0^pi (f_a(x)-g_a(x)) dx |`
`= |int_0^pi (a*sin(x)+1/a*sin(x)) dx |`
`= |[-a*cos(x)-1/a*cos(x)]_0^pi |`
` = |-a*cos(pi)-1/a*cos(pi)-(-a*cos(0)-1/a*cos(0))|`
` = |-a*(-1)-1/a*(-1)+a*1+1/a*1 |= |a+1/a+a+1/a |= |2a+2/a|`
`A(a) = 2a + 2a^-1` für `a > 0` .

Extremstellen von `A(a)`:     `A´(a) = 0` und `A´´(a) > 0`
`A´(a) = 2 -2a^-2`
`A´´(a) = 4a^-3 > 0` für alle `a > 0`
`## A´(a) = 0 2-2a^-2 = 0 2 = 2a^-2 | :2 1 = a^-2 | *a^2 a^2 = 1 a_(1,2) = +-1 ##`
Mit   `a^2`   darf multipliziert werden, da `a != 0`.
Da `A´´(+1) > 0` ist, ist `A(a)` für `a_1 = +1` minimal.
Der minimale Flächeninhalt zwischen den beiden Kurven ist
`A(1) = 2*1 + 2*1^-1 = 2 + 2 = 4 `
`A(-1) =| 2*(-1) + 2*(-1)^-1| =| -2 -2| =| -4| = 4`

Für `a = +-1` ist der Flächeninhalt minimal, nämlich 4 FE.
agraph xscl=1; xmin=-2.5; ymin=-1.5; height=600; width=600; xyAchsen2(); fill="yellow"; fillopacity=0.5; text([0.5,-0.5],"move mouse here", "right"); text([3.5,2.5], "a =", "right" ); endagraph Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.

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