Erneuert: 2014-02-03 19:52
Lösungen Blatt S. 93
Aufg. 4a)
Der Graph von f mit `f(x) = -0,5x^2` hat im Intervall (0; 4) keine
Nullstelle. `f(1) = -0,5*1^2 = -0,5 < 0` .
`-A = int_0^4 -0,5x^2::dx = [-0,5/3 x^3]_0^4 = [-1/6 x^3]_0^4`
`= -1/6 4^3 - (-1/6 0^3) = -64/6 = -32/3`
Die Fläche A zwischen dem Graphen von f
mit `f(x) = -0,5x^2`
und der x-Achse über dem
Intervall
[0; 4] beträgt `32/3` FE.
Mit GTR: fnInt erhält man mit MATH 9
fnInt(0.5X^2,X,0,4) Enter
MATH Frac wandelt das dezimale Ergebnis in `32/3` .
agraph
ymin=-6.5;
xscl=1;
xyAchsen2();
fillopacity=0.5;
fill="yellow";
inhalt(-0.5x^2, 0, 4);
endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.
Aufg. 4b)
`f(x) = 1/x^2 - 1`
Nullstellen von f: `f(x) = 0`
`##
1/x^2-1 = 0
1/x^2 = 1
x^2 = 1
x_(1,2) = +- 1
##`
Im Intervall [0,5; 2] liegt die Nullstelle `x_2 = 1` .
`f(0,5) = 1/(0,5^2) - 1 = 4 > 0`; `f(2) = 1/2^2 - 1 = 1/4-1 <0`
Vor `x = 0,5` liegt f oberhalb, danach unterhalb der x-Achse.
`A = int_0,5^1 (x^-2 -1)dx + int_1^2 (-x^-2+1)dx`
`= [-x^-1 - x]_0,5^1 + [x^-1+x]_1^2 `
`= -1-1 -(-2-0,5) + 1/2+2-(1+1) `
`= -2+2+0,5+0,5+2-2 = 1`
Die Fläche A zwischen dem Graphen von f
mit `f(x) = 1/x^2 -1`
und der x-Achse über dem
Intervall [0,5; 2] beträgt 1 FE.
Mit GTR: fnInt(-X^-2-1,X,0.5,1)+fnInt(-X^-2+1,X,1,2) Enter
agraph
ymin=-2.5;
xscl=1;
xyAchsen2();
fillopacity=0.5;
fill="yellow";
inhalt(1/x^2-1, 0.5, 2);
endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.
Aufg. 4c)
`f(x) = cos(x)`
Im Intervall [0; 2] ist `x_1 = pi/2 ~~ 1,57` einzige Nullstelle von f.
`f(0) = cos(0) = 1 > 0`; `f(2) = cos(2) ~~ -0,42 < 0`
`A = int_0^(pi/2) cos(x) dx + int_(pi/2)^2 -cos(x) dx = [sin(x)]_0^(pi/2)+ [-sin(x)]_(pi/2)^2 `
`= sin(pi/2)-sin(0) + (-sin(2)-(-sin(pi/2))) `
`= 1 - 0 - sin(2)+1 = 2 - sin(2) ~~ 1,09 `
Die Fläche A zwischen dem Graphen von f
mit `f(x) = cos(x)`
und der x-Achse über dem
Intervall [0; 2] beträgt `2 - sin(2)` FE.
Mit GTR: fnInt(cos(X),X,0,`pi`/2)+fnInt(-cos(X),X,`pi`/2,2) Enter
Wenn mit MODE Degree eingestellt ist, kommt der falsche Wert 1,14 heraus.
agraph
xscl=1;
xyAchsen2();
fillopacity=0.5;
fill="yellow";
inhalt(cos(x), 0, 2);
endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.
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