Erneuert:   2014-02-03   22:15

Lösungen Blatt S. 93

Aufg. 6a)
`f(x) = 1/x^3`;   `[1; oo)`
f hat keine Nullstellen in `[1; oo)` und ist dort positiv.
Sei A(u) der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen
von f, der x-Achse und den Geraden x=1 und x=u.
`A(u) = int_1^u x^-3 dx = [-1/2 x^-2]_1^u = -1/2 u^-2 - (-1/2 1^-2)`
`= -1/(2u^2) + 1/2`
`A = lim_(u->oo) A(u) = lim_(u->oo) (1/2 - 1/(2u^2)) = 1/2` .
Die ins Unendliche reichende Fläche hat einen endlichen
Flächeninhalt, nämlich 0,5 FE .
agraph ymin=-1.5; xmin=-1.9; xmax=7.5; height=200; width=520; xscl=1; xyAchsen2(); fill="yellow"; text([3,-1],"move mouse here", "above"); text([-0.8, 0.5], "A(u) =", "left"); endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.

Aufg. 6b)
`f(x) = 1/sqrt(x)`;   `[1; oo)`
f hat keine Nullstellen in `[1; oo)` und ist dort positiv.
Sei A(u) der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen
von f, der x-Achse und den Geraden x=1 und x=u.
`A(u) = int_1^u x^(-1/2) dx = [2 x^(1/2)]_1^u = 2 u^(1/2) - (2 *1^(1/2))`
`= 2*sqrt(u) - 2`
Für `u -> oo` strebt `A(u) -> oo`, also existiert `lim_(u->oo) A(u)` nicht.
Die ins Unendliche reichende Fläche hat keinen endlichen Flächeninhalt.
agraph ymin=-1.5; xmin=-1.9; xmax=7.5; height=200; width=520; xscl=1; xyAchsen2(); fill="yellow"; text([3,-1],"move mouse here", "above"); text([-0.8, 0.5], "A(u) =", "left"); endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.

Aufg. 6c)
`f(x) = 1/(10x^2)`;   `(-oo; -1]`
f hat keine Nullstellen in `(-oo; -1]` und ist dort positiv.
Sei A(u) der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen
von f, der x-Achse und den Geraden x=u und x=-1.
`A(u) = int_u^-1 0,1 x^-2 dx = [-0,1 x^-1]_u^-1 `
`= -0,1*(-1) - (-0,1*u^-1)= 0,1 + 0,1/u`
`A = lim_(u->-oo) A(u) = lim_(u->-oo) (0,1+0,1/u) = 0,1` .
Die ins Unendliche reichende Fläche hat einen endlichen
Flächeninhalt, nämlich 0,1 FE .


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