Erneuert: 2014-02-03 22:16
Lösungen Blatt S. 93
Aufg. 8a)
`f(x) = 1/(2x^3)`; `[0; 1]`
f hat keine Nullstellen in `(0; 1]` und ist dort positiv.
Sei A(u) der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen
von f,
der x-Achse und den Geraden x=u und x=1 mit `u in (0; 1]` .
`A(u) = int_u^1 1/2 x^-3 dx = [-1/4 x^-2]_u^1 = -1/4 - (-1/4 u^-2)`
`= -1/4 + 1/(4u^2)`
Für `u->0, \ \ u>0` strebt `A(u) -> oo` .
`lim_stackrel{u->0}{u>0} A(u)` existiert nicht.
Die ins Unendliche reichende Fläche zwischen x=0 und x=1 hat keinen
endlichen Flächeninhalt.
agraph
ymin=-1.5;
xmin=-1.9;
xmax=3.5;
height=500;
width=220;
xscl=1;
xyAchsen2();
fill="yellow";
text([1,-1],"move mouse here", "above");
text([2.2, 5.5], "A(u) =", "left");
endagraph
Die Zeichnung ist nicht Teil der Lösung.
Aufg. 8b)
`f(x) = 4/sqrt(x)`; `[0; 1]`
f hat keine Nullstellen in `(0; 1]` und ist dort positiv.
Sei A(u) der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen
von f,
der x-Achse und den Geraden x=u und x=1 mit `u in (0; 1]` .
`A(u) = int_u^1 4 x^(-1/2)::dx = [4*2 x^(1/2)]_u^1 = 8 - (8 u^(1/2))`
`= 8 - 8 sqrt(u)`
`A = lim_stackrel{u->0}{u>0} A(u) = lim_stackrel{u->0}{u>0} (8-8sqrt(u)) = 8 ` .
Die ins Unendliche reichende Fläche zwischen x=0 und x=1 hat den
endlichen Flächeninhalt 8 FE.
agraph
ymin=-1.5;
xmin=-1.9;
xmax=3.5;
height=500;
width=220;
xscl=1;
xyAchsen2();
fill="yellow";
text([1,-1],"move mouse here", "above");
text([2.2, 5.5], "A(u) =", "left");
endagraph
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