Lösungen    Arbeitsblatt  Gei 19.06.15

A1

Lösen Sie das LGS (ohne GTR):

`##[ 3x_1 +2x_2 -x_3 = -2 2x_1 -x_2 -3x_3 = 1 x_1 +x_2 +2x_3 = 2 ##`   `{:((1)),((2)),((3)):}`

Es sind zuerst zwei "Löcher" übereinander zu erzeugen, also z.B.

`{: ( ),( 2*(1)-3*(2): ), ( (1)-3*(3): ) :}`    `##[ 3x_1 +2x_2 -x_3 = -2 # 7x_2 +7x_3 = -7 # -x_2 -7x_3 = -8 ##`   `{:((4)),((5)),((6)):}`

Jetzt ist noch ein "Loch" zu erzeugen in einer Gleichung, die schon ein "Loch" hat, also z.B.

`{: ( ),( ), ( (5)+(6): ) :}`    `##[ 3x_1 +2x_2 -x_3 = -2 # 7x_2 +7x_3 = -7 # 6x_2 # = -15 ##`   `{:((7)),((8)),((9)):}`

Aus Gleichung (9) folgt   `x_2 = -2,5`
Dies eingesetzt in Gleichung (8) ergibt:   `-2,5+x_3=-1` ,
also   `x_3 = 1,5` .

Die beiden Ergebnisse für `x_1` und `x_2` eingesetzt in (7) ergeben   `x_3 = 1,5` .

`LL = { (1,5|-2,5|1,5) }`
Die Lösungsmenge besteht aus einem Punkt S(1,5|-2,5|1,5) .


A2

Interpretieren Sie das LGS aus A1 und seine Lösung(en) geometrisch.

Jede Gleichung des LGS kann als Ebene in Koordinatenform aufgefasst werden.
Keine zwei der drei Ebenen sind parallel zueinander, denn ihre Richtungsvektoren sind keine Vielfache voneinander.
Z. B. ist der Normalenvektor der 1. Ebene `vec(n) =((3),(2),(-1))` .
Die drei Ebenen schneiden sich damit in einem einzigen Punkt S.
Ein LGS mit 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten `x_1`, `x_2`, `x_3` zu lösen bedeutet geometrisch, drei Ebenen zu schneiden und die gemeinsamen Punkte aller 3 Ebenen herauszufinden.


A3

Zeichnen Sie den Würfel mit den Ecken A(3|0|0), B(0|0|0), C(0|3|0), D(0|0|3) und berechnen Sie die Länge der längsten Strecke in diesem Würfel.

Der einzig mögliche Würfel mit diesen Punkten sieht so aus:
agraph A=[3,0,0]; B=[3,3,0]; C=[0,3,0]; D=[0,0,0]; E1=[3,0,3]; F=[3,3,3]; G=[0,3,3]; H=[0,0,3]; xyzAchsen(4,4,5.5,3.5); strokewidth=2; path([d3(A), d3(B), d3(C), d3(D), d3(A), d3(E1), d3(F), d3(G), d3(H), d3(E1) ]); path([d3(F), d3(B), d3(C), d3(G), d3(H), d3(D) ]); endagraph Die längste Strecke darin geht von O(0|0|0) nach F(3|3|3) .
`|vec(OF)| = sqrt((3-0)^2 + (3-0)^2 + (3-0)^2) = sqrt(9+9+9) = sqrt(27) ~~ 5,20`

A4

Ergänzen Sie `Delta RST` mit R(3|0|1), S(1|2|-1), T(0|-2|1) zu einem Parallelogramm RSTU.

`vec(OU) = vec(OT)+vec(SR) = ((0),(-2),(1)) + ((2),(-2),(2)) = ((2),(-4),(3))\ =>\ U(2|-2|2)`
Skizzieren Sie irgend ein Parallelogramm RSTU und zeichnen Sie die obigen Vektoren ein.

A5

Bestimmen Sie den Mittelpunkt des Vierecks A(3|0|0), B(0|4|1), C(-1|3|3), D(2|-1|2).

Dazu muss das Viereck ein Parallelogramm sein, sonst gibt es keinen Mittelpunkt.
Wenn die Mitte von AC gleich der Mitte von BD ist, dann hat man den Mittelpunkt des Vierecks:

` M_(AC) = ((3-1)/2|(0+3)/2|(0+3)/2) = (1|3/2|3/2)` ;    ` M_(BD) = ((0+2)/2|(4-1)/2|(1+2)/2) = (1|3/2|3/2)`   
`M_(AC) = M_(BD)`, also ist M(1|1,5|1,5) Mittelpunkt des Vierecks.

A6

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat den Wendepunkt W(1|0) und den Extrempunkt E(-1|4).
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von f.

Ganzrationale Funktion dritten Grades:
`f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d`
Da von einem Wendepunkt die Rede ist, brauchen wir alle Ableitungen bis zur zweiten Ableitung.
`f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c`
`f´´(x) = 6ax + 2b `

Da 4 Koeffizienten a, b, c, d zu bestimmen sind, brauchen wir 4 Bedingungen (Gleichungen):

Punktprobe mit W(1|0):
`f(1)=0`
`a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = 0`
`a + b + c + d = 0`    (1)

W(1|0) ist Wendepunkt von f:
`f´´(1) = 0`
`6a*1 + 2b = 0`
`3a +2b = 0`    (2)

Punktprobe mit E(-1|4):
`f(-1) = 4`
`a*(-1)^3 + b*(-1)^2 + c*(-1) + d = 4`
`-a + b -c + d = 4`    (3)

E(-1|4) ist Extrempunkt von f:
`f´(-1) = 0`
`3a*(-1)^2 + 2b*(-1) + c = 0`
`3a - 2b + c = 0`    (4)

Eingabe der Gleichungen (1) bis (4) in den GTR:
`##[ 1 1 1 1 0 3 1 0 0 0 -1 1 -1 1 4 3 -2 1 0 0 ##`

GTR liefert mit rref(:
`##[ 1 0 0 0 1/4 0 1 0 0 -3/4 0 0 1 0 -9/4 0 0 0 1 11/4 ##`

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:
`f(x) = 1/4 x^3 -3/4x^2 -9/4 x + 11/4`


A7

Der Graph einer zur y-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion h vierten Grades geht durch H(0|1), und T(2|-2) ist ein Tiefpunkt des Graphen.
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h.

Ganzrationale Funktion vierten Grades, symmetrisch zur y-Achse:
`f(x) = ax^4 + bx^2 + c`
`f´(x) = 4ax^3 + 2bx`

Da 3 Koeffizienten a, b, c zu bestimmen sind, brauchen wir 3 Bedingungen (Gleichungen):

Punktprobe mit H(0|1):
`f(0)=1`
`a*0^4 + b*0^2 + c = 0`
`c = 0`    (1)

Punktprobe mit T(2|-2):
`f(2) = -2`
`a*2^4 + b*2^2 + c = -2`
`16a + 4b + c = -2`     da `c=0` :
`16a + 4b = -2`    (2)

T(2|-2) ist Tiefpunkt von f:
`f´(2) = 0`
`4a*2^3+2b*2 = 0`
`32a+4b = 0`
`16a+2b = 0`    (3)

(2)-(3):    `4b - 2b = -2`
`2b = -2`
`b = -1`    (4)

(4) in (3):    `16a + 2*(-1) = 0`
`16a = 2`
`a = 1/8`

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:
`f(x) = 1/8 x^4 -x^2`

Ein GTR ist zur Lösung nicht erforderlich.


A8

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch B(0|-4) und hat den Terrassenpunkt T(2|4).
Ermitteln Sie eine Gleichung der Funkton.

Ganzrationale Funktion dritten Grades:
`f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d`
Da von einem Terrassenpunkt die Rede ist, brauchen wir alle Ableitungen bis zur zweiten Ableitung.
`f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c`
`f´´(x) = 6ax + 2b `

Da 4 Koeffizienten a, b, c, d zu bestimmen sind, brauchen wir 4 Bedingungen (Gleichungen):

Punktprobe mit B(0|-4):
`f(0)=-4`
`a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = -4`
`d = -4`    (1)

T(2|4) ist Terrassenpunkt von f, also auch Wendepunkt:
`f´´(2) = 0`
`6a*2 + 2b = 0`
`6a +b = 0`    (2)

T(2|4) ist Punkt mit waagrechter Tangente:
`f´(2) = 0`
`3a*2^2 + 2b*2 + c = 0`
`12a + 4b + c = 0`    (3)

Punktprobe mit T(2|4):
`f(2) = 4`
`a*2^3 + b*2^2 + c*2 + d = 4`   da `d=-4` :
`8a + 4b +2c = 8`
`4a + 2b +c = 4`    (4)

Da mit der Teillösung (1) nur noch 3 Unbekannte vorhanden sind, kann das LGS auch ohne GTR leicht gelöst werden:

(3)-(4):    `8a +2b = -4`
`4a + b = -2`    (5)

(2)-(5):    `2a = 2`
`a = 1`   (6)

(6) in (2):    `6+b=0`
`b = -6`    (7)

(6) und (7) in (4):    `4*1+2*(-6)+c=4`
`4-12+c = 4`
`c = 12`

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:
`f(x) = x^3 -6x^2 +12x -4 `


A9

Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für das LGS
`##[ 3x_1 +2x_2 -x_3 = 4 ax_1 +bx_2 +cx_3 = d ##`
, wenn a, b, c, d beliebige reelle Zahlen sind?

Lösung im Unterricht erstellt

A10

Welche Bedingungen müssen die Punkte A, B, C, D im dreidimensionalen Raum erfüllen, damit sie eine Raute ABCD bilden? (möglichst vektorielle Bedingungen)

`vec(AB) = vec(DC)` und `vec(BC) = vec(DA)`
(Gegenüberliegende Seiten müssen gleich lang und parallel sein.)

A11

Welche Bedingungen müssen die Punkte A, B, C, D im dreidimensionalen Raum erfüllen, damit sie einen Drachen ABCD bilden? (möglichst vektorielle Bedingungen)

`vec(BM) =1/2*vec(BD)`   und `vec(AC) = k*vec(AM)` mit `k > 1`   und `vec(AC)*vec(BD) = 0`

agraph ymin=-3.5; height=150; noaxes(); path([ [0,-3], [2,0], [0,1], [-2,0], [0,-3], ]); stroke="orange"; line( [-2,0],[2,0],"", "o-o" ); line( [0,-3],[0,1],"", "o-o" ); text( [0,-3], "A", "right" ); text( [2,0], "B", "right" ); text( [0,1], "C", "rightabove" ); text( [-2,0], "D", "left" ); text( [0,0], "M", "rightbelow" ); endagraph

(Eine Diagonale muss die andere halbieren und beide müssen senkrecht stehen und sich schneiden.)


A12
`
Stellen Sie die Ebene `-8x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 12` graphisch dar.

agraph ymin=-2.8; xmin=-4.5; xmax=6.5; xscl=1; xyzAchsen(4,4,6.5,3.5); strokewidth=2; fill="yellow"; fillopacity=0.5; path([ d3([-1.5,0,0]), d3([0,6,0]),d3([0,0,4]), d3([-1.5,0,0])]); dot( d3([-1.5,0,0]));dot( d3([0,6,0]));dot( d3([0,0,4])); endagraph
Man berechnet die Durchstoßpunkte, indem man zwei Koordinaten Null setzt und die dritte berechnet.

Die Darstellung einer Ebene wie z.B.   `F:\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0`   (hinten 0)
wird nicht verlangt.

A13

Stellen Sie die Ebene `2x_1 + 3x_3 = 6` graphisch dar.

agraph xscl=1; xyzAchsen(4,4,5.5,3.5); strokewidth=2; fill="yellow"; fillopacity=0.5; path([ d3([3,0,0]), d3([3,4,0]),d3([0, 4, 2]), d3([0,0,2]), d3([3,0,0])]); dot( d3([3,0,0])); dot( d3([0,0, 2])); endagraph
Man berechnet die Durchstoßpunkte, indem man zwei Koordinaten Null setzt und die dritte berechnet. Die fehlende Koordinate `x_2` ist beliebig, weil sie in der Koordinatengleichung nicht vorkommt, also nicht eingeschränkt ist. Man kann für sie 0 einsetzen und z.B. 4 wie in der Zeichnung. Man erhält zwei Durchstoßpunkte `D_1` und `D_2` und zwei Punkte `D_1'` und `D_2'`, die daneben liegen. Alle vier Punkte bilden einen rechteckigen Ausschnitt aus der Ebene.


A14

Geben Sie die Gleichung einer Geraden an, die parallel zur Ebene `-4x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 12` ist.

Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein:
`((-4),(2),(3))*((3),(0),(4)) = -4*3+2*0+3*4=0`
Geradengleichung:
`g:\ vec(x) = t*((3),(0),(4))` ;   `t in RR`

A15

Geben Sie die Gleichung einer Ebene an, die parallel zur Ebene `E: \ -4x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 12` ist.

Die beiden Ebenen müssen den gleichen Normalenvektor haben:
Ebene   `F: \ -4x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0`   ist parallel zu E.


A16

Geben Sie die Gleichung einer Ebene an, die orthogonal zur Ebene `E:\ -4x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 12` ist.

Ebene   `F:\ 3x_1 + 4x_3 = 1`   ist orthogonal zur Ebene E,
denn die Normalenvektoren von E und F sind orthogonal.


A17

Geben Sie die Gleichungen aller Ebenen an, die orthogonal zur Geraden
`g:\ vec(x) = ((1),(0),(-1))+r((3),(1),(-2))`;   `r in RR`   sind.

Der Richtungsvektor von g ist der Normalenvektor jeder gesuchten Ebene E.

Mit dieser Gleichung   `E_a: \ 3x_1+x_2-2x_3 = a ` ;   `a in RR`
sind alle gesuchten Ebenen beschrieben.


A18
Bestimmen Sie zwei zu `vec(a) = ((3),(-1),(4))` orthogonale Vektoren `vec(b)` und `vec(c)`, die zueinander nicht parallel sind.
Wie viele solcher zu `vec(a)` orthogonalen Vektoren gibt es?

`((3),(-1),(4))*((1),(3),(0)) = 3*1+(-1)*3+4*0=0`
`((3),(-1),(4))*((4),(0),(-3)) = 3*4+(-1)*0+4*(-3)=0`
`((1),(3),(0)) = k*((4),(0),(-3))`   hat keine Lösung für k,
also sind `((1),(3),(0))` und `((4),(0),(-3))` nicht parallel und
somit Beispiele für die gesuchten Vektoren.

Alle unendlich vielen Vektoren `vec(n)=((n_1),(n_2),(n_3))`, die diese Bedingung erfüllen:
`((3),(-1),(4))*((n_1),(n_2),(n_3))= 0` ,
sind orthogonal zu `((3),(-1),(4))`.

A19

`##[ -x_1 +2x_2 -4x_3 = 5 2x_1 +2x_2 6x_3 = 4 5x_1 -10x_2 +20x_3 = -25 ##`    Lösen Sie das LGS mit GTR.

Der GTR liefert mit rref (MATH FRAC am Schluss):
`##[ 1 0 10/3 -1/3 0 1 -1/3 7/3 0 0 0 0 ##`

Die letzte Zeile bedeutet keine Einschränkung, insbesondere kein Widerspruch.
In der 2. Zeile setzt man t für `x_3` und erhält:
`x_2 - 1/3t = 7/3 \ => \ x_2 = 7/3+1/3t`
In der 1. Zeile setzt man ebenfalls t für `x_3` und erhält:
`x_1 + 10/3t = -1/3 \ => \ x_1 = -1/3-10/3t`

Für die Lösungsmenge erhält man:
`LL = {(-1/3-10/3t|7/3+1/3t|t)| t in RR}`

Geometrisch gesehen ist die Lösungsmenge eine Gerade:
`g:\ vec(x) = ((-1/3),(7/3),(0))+t*((-10/3),(1/3),(1))`;   `t in RR`

Die drei Ebenen - jede Gleichung stellt eine Ebene dar - schneiden sich in einer Geraden.