Was ist eine Tangente?

Eine Gerade, die eine Kurve
berührt, heißt Tangente.

Was gilt für die Steigung der Tangente
an den Graph von   f   in   `P(x_0|y_0)` ?

`m_t = f´(x_0)`

Hauptform der Geradengleichung?

`y = m*x+c`
 
m:   Steigung der Gerade
c:   Achsenabschnitt der Gerade

Tangente an Graph von   f   mit                  
`f(x) = x^2`   in   P(0,5|0,25) ?

`f´(x) = 2x`
`f´(0,5) = 2*0,5 = 1 = m_t`
Tangente   t:   `y = m_t*x + c`
Punkt und Steigung in   t   einsetzen:
`0,25 = 1*0,5+c`   `=>`   `c = -0,25`
t:     `y = x - 0,25`

Wie heißt der Punkt, der eine
Tangente zur Tangente macht?

Berührpunkt.

Welcher der beiden Punkte ist
der Berührpunkt der Tangente t ? agraph xyAchsen(); strokewidth=2; plot(1/4*x*(x-2)^2); stroke="green"; plot(1/2*x-1.15); dot( [-0.8, -1.55],"", "R", "leftabove" ); dot( [ 2.4, 0.1],"", "S", "leftabove" ); endagraph

S ist der Berührpunkt.
R ist nur ein Schnittpunkt.

W ist Wendepunkt des Graphen von f . Richtig?

agraph xyAchsen(); strokewidth=2; plot(1/8*(x+3)*x*(x-3)); dot([-1.78, 1.3], "", "W", "above"); endagraph

Falsch.
W ist Hochpunkt des Graphen von f.

Wie erkennt man rechnerisch,                  
ob der Graph von f im Intervall I
eine Linkskurve macht?

Wenn `f´´(x) > 0` für alle `x in ::`I,
dann macht der Graph von f eine
Linkskurve in I.

Was wird mit [a; b] bezeichnet?

[a; b] wird gelesen als:
Abgeschlossenes Intervall a b.
 
Alle Zahlen `x in RR`, für die gilt:
`x >= a` und `x <= b`, liegen im
Intervall [a; b] .

Liegt 3 im Intervall [4; 1]?

Nein.
Intervall [4; 1] ist leer, weil die
größere Zahl vor der kleineren kommt.
`3 !in [4; 1]` .
`3 in [1; 4]` .

Was bedeutet `[::3; oo)` ?

`[::3; oo)` ist das Intervall von 3
bis `oo`, also die Menge der reellen
Zahlen, die größer oder gleich 3 sind.
 
`oo` gehört nicht zum Intervall.
`oo` ist keine Zahl.

Ist   `oo in RR` ?

Nein. `oo` ist keine Zahl und deshalb
auch nicht Element von `RR`.

Was bedeutet `RR` ?

`RR` ist die Menge der reellen Zahlen.
Das sind alle rationalen und irrationalen
Zahlen.

Wie ist eine irrationale Zahl definiert?

Jede Zahl, die man nicht als Bruch aus
ganzen Zahlen schreiben kann, ist irrational.

Nenne verschiedene Beispiele von                  
irrationalen Zahlen.

`sqrt(2)` ist irrational.
`pi`   und   `e`   sind irrational.
0,101001000100001...   ist irrational.

Eine irrationale Zahl kann man nicht
als periodischen Dezimalbruch schreiben.
 
Richtig?

Ja.

`0","bar3` ist irrational.
 
Richtig?

Falsch.
`0","bar3 = 1/3`.
`0","bar3` kann man als Bruch aus ganzen
Zahlen schreiben, also ist `0","bar3`
rational.

Was bedeutet in der Intervallschreibweise
die eckige bzw. die runde Klammer?

[ links     heißt mit linkem Rand
] rechts     heißt mit rechtem Rand
( links     heißt ohne linken Rand
) rechts     heißt ohne rechten Rand

Welche Zahlen liegen in (0,1] ?

Im Intervall (0, 1] liegen alle reellen Zahlen,
die größer als 0 sind und kleiner oder gleich 1.

Was heißt   `<=` ?

Das heißt   "kleiner oder gleich".
`a <= b`   heißt   "a kleiner gleich b".

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine Zuordnung,
die `blau(jedem)` Element einer Definitionsmenge
`blau("genau einen")` Funktionswert zuordnet.

Welche Definitionsmenge meint man, wenn
man schreibt   `f(x) = x^2` ?

Man mein die maximale Definitionsmenge,
nämlich   `D_{f} = RR` .

Welche Geraden sind `rot( nicht )` in der Hauptform
y = mx + c
enthalten?

Die senkrechten Geraden fehlen.
Sie passen nicht in diese Form.
x = a   heißen die senkrechten Geraden.

Zeichne   x = 3 .

agraph; xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; line([3,6], [3,-6]); endagraph

Nenne verschiedene Beispiele von rationalen Zahlen.

Rationale Zahlen sind:
3       -205       `3/4`       `-56/19`       17,397
`1/9`       `0,34 bar145`       `1,6*10^-19`

Markiere den inneren Extremwert: agraph xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; plot(-1/8*(x-2)^2+3); endagraph

Der Extremwert ist kein Punkt, sondern eine `gruen("Strecke")`.

agraph xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; plot(-1/8*(x-2)^2+3); stroke="green"; line([2,0],[2,3]); endagraph

so oder   so:

agraph xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; plot(-1/8*(x-2)^2+3); stroke="green"; strokewidth=4; line([-0.2,3],[0.2,3]); endagraph

Markiere die innere Extremstelle bei                   agraph xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; plot(-1/8*(x-2)^2+3); endagraph

Eine Stelle ist ein x-Wert:   `gruen("Extremstelle")`.

agraph xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; plot(-1/8*(x-2)^2+3); stroke="green"; line([0,0.1],[2,0.1]); endagraph

so oder   so:

agraph xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; plot(-1/8*(x-2)^2+3); stroke="green"; strokewidth=4; line([2.0,0.2],[2.0,-0.2]); endagraph

Zeichne   y = 2 .

agraph; xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; line([-6,2], [6,2]); endagraph

Zeichne   `y = e^x - 1` .

agraph; xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; stroke="orange"; line([-6,-1], [6,-1]); stroke="blue";   plot( e^x - 1 ); text([1.3, 2.1], "`y = e^x-1`", "right" ); endagraph
Man zeichnet die Asymptote (orange) immer mit dazu,
damit die Zeichnung genauer wird.
 
Kurve und Asymptote müssen verschiedene Farben haben.

Durch Null darf man nicht dividieren.
Wieso darf man eine Gleichung immer durch
`e^x`,   `e^(-0.1t)`,   ...
teilen?

e hoch irgendwas ist immer positiv.
`e^0`   ist positiv,
`e^-2`   ist positiv,
`e^0,001`   ist positiv, ...

`f(x) = -e^(-x) + 1`
`g(x) = e^x`
Wie entsteht   f   aus   g   geometrisch?

`f_1`   mit   `f_1(x) = e^-x`   entsteht aus   g
durch Spiegelung an der y-Achse.
 
`f_2`   mit   `f_2(x) = -e^-x`   entsteht aus   `f_1`
durch Spiegelung an der x-Achse.
 
f   entsteht aus   `f_2` durch Verschiebung um 1
nach oben.

Wie lautet die Produktregel?

Sei   `f(x) = u(x)*v(x)` .
Dann ist   `f´(x) = u´(x)*v(x) + u(x)*v´(x)`.
 
Kurz:       `f´ = u´v + uv´`

Wie lautet die Kettenregel?

Sei   `f(x) = u(v(x))` .
Dann ist   `f´(x)` = äußere * innere Ableitung.

`f(x) = (3-2x)^10`
`f´(x)` = ?

`f´(x) = blau(10*(3-2x)^9) *gruen((-2))`
            `blau("äußere") :: * :: gruen("innere")`
                  Ableitung
        `= -20*(3-2x)^9`

`f(x) = e^(-x)`
`f´(x)` = ?

`f´(x) = blau(e^(-x)) *gruen((-1))`
          `blau("äußere") :: * :: gruen("innere")`
                Ableitung
        `= -e^(-x)`

`f(x) = x*e^(-x)`
`f´(x)` = ?

`## f´(x) = 1*e^(-x)+x*(-e^(-x)) # = -e^(-x)-x*e^(-x) # = e^(-x)(-1-x) ##`

Bedingung für Wendepunkt?

f   hat Wendepunkt   `W(x_0|f(x_0))`,
falls   `f´´(x_0) = 0`
und   `f´´`   macht in   `x_0`   einen Vorzeichenwechsel.

Satz vom Nullprodukt?

Ein Produkt ist genau dann Null,
wenn mindestens einer der beiden Faktoren
Null ist.

`(x-2)(x+5) = 0`
weiter?

`## x-2 = 0 "oder" x+5 = 0 x_1 = 2 # x_2 = -5 ##`

`x^4 - 20x^2 + 64 = 0`
weiter?

Sei   `u = x^2` . Dann ist
 
`## &3;u^2-20u+64 = 0 &3;u_(1,2) = &3;(20+-sqrt(400-4*1*64))/2 # # u_1 = (20-12)/2 oder u_2 = (20+12)/2 u_1 = 4 oder u_2 = 16 x_1=-2 oder x_2=2 oder x_3=-4 oder x_4=4 ##`

Wie heißt der Monotoniesatz?

Wenn   `f´(x) > 0`   in   (a, b),
dann ist   f   streng monoton wachsend in   [a, b].
 
Wenn   `f´(x) < 0`   in   (a, b),
dann ist   f   streng monoton fallend in   [a, b].

Was ist ein Monotonie-Intervall?

Ein Monotonie-Intervall ist ein Intervall,
in dem   f   entweder streng monoton wachsend
oder streng monoton fallend ist.

Beweise, dass   `B(t) = 5 - e^(-0,1t)`                  
dauernd wächst.

`B´(t) = -e^(-0,1t) * (-0,1)`
`B´(t) = 0,1e^(-0,1t)`
 
Da   `e^x > 0`   für alle x ist,
ist   `B´(t) > 0`   für alle t > 0.
 
Nach dem Monotoniesatz wächst   `B(t)`   dauernd.

Untersuche   f   mit   `f(x) = x^4-2x^2`  
auf Monotonie.

`f´(x) = 4x^3-4x = 4x(x^2-1)`
Die Grenzen der Monotonie-Intervalle finden wir mit
`## f´(x) = 0 0 = 4x(x^2-1) 4x=0 oder # x^2=1 x_1=0 oder x_2=-1 oder x_3=1 ##`
`I_1 = ( _-ooo; _-1]`,   `I_2 = [_-1; 0]`,   `I_3 = [0; 1]`,   `I_4 = [1; oo )`
In   `I_1`   und   `I_3`   fällt   f   streng monoton,
in   `I_2`   und   `I_4`   wächst   f   streng monoton.

Woran erkennt man einen Wendepunkt
in der Zeichnung von f ?

Im Wendepunkt geht die Kurve von einer
Linkskurve in eine Rechtskurve oder von einer
Rechtskurve in eine Linkskurve über.
 
Im Wendepunkt wechselt die Kurvigkeit.

Was ist eine differenzierbare Funktion?

Eine Funktion, die an jeder Stelle der
Definitionsmenge ableitbar ist,
ist differenzierbar.
 
differenzierbar = ableitbar

`f(x) = -x^2 + 2`                  
f ist um 2 nach oben verschoben.
 
Richtig?

Falsch.
Eine Funktion kann nicht verschoben sein.
 
Nur zwei Funktionen können gegeneinander
verschoben sein.
 
Sei   `g(x) = -x^2`;   dann ist
f   die Funktion   g   um zwei nach oben
verschoben.

Was ist Namensgebungskompetenz?

Die Mathematik ist produktiv, weil komplexe Dinge
einfache Namen haben können.
 
Die Namensgebungskompetenz erlaubt es und ermuntert
dazu, für Terme, Flächeninhalte, Kurven usw. knappe,
leicht handhabbare Namen zu vergeben.
 
Bereits in der Aufgabe vergebene Namen darf man
nicht ändern und nicht mit einer anderen Bedeutung
versehen.
 
Für eine bereits benannte Sache einen weiteren
Namen zu vergeben, verkompliziert die Sache und
ist nicht im Sinne einer einfachen Lösung.
 
Verschiedene Dinge müssen verschiedene Namen haben.

Was ist das Namensänderungsverbot?

Namen, Bezeichnungen, Abkürzungen, die Klausur- und
Abitursaufgaben vorgegeben werden, dürfen vom
Bearbeitenden nicht geändert werden.
 
Wenn "Aufgabe II 1" die Aufgabe heißt und in der
Reinschrift kommt "Aufgabe II 1" nicht vor, sondern
z.B. statt dessen nur "2.", so hat der Kandidat Null
Punkte in dieser Aufgabe, denn die vorgesehene Aufgabe
wurde nicht bearbeitet. Die Erst-, Zweit- und
Drittkorrektoren müssen nicht in der Reinschrift
suchen, ob irgend wo irgend welche unbetitelten oder
falsch betitelten Aufgabenteile vorkommen.
 
Wird "E" für eine Ebene in der Aufgabe benützt, so
kann man in derselben Aufgabe "E" nicht für einen Punkt
benützen. "E" muss gleich "E" sein. Für jede Bezeichnung
in jeder Aufgabe besteht Namensänderungsverbot.

`-4*2^-1 = 8`
 
Richtig?

Falsch.
`-4*2^-1 = -4/2 = -2`