Was ist eine Stammfunktion?

F   heißt eine Stammfunktion von   f,   wenn
`F´(x) = f(x)`   für alle   `x in D_f` .

Bilden Sie die Stammfunktion
von   `f(x) = x` .
 
Richtig?

Falsch.
"Die" Stammfunktion gibt es nicht.
 
Wenn es eine Stammfunktion gibt,
gibt es unendlich viele.
 
Wenn   F   Stammfunktion von   f   ist,
dann ist auch   G   mit   `G(x) = F(x) + c`,     `c in RR`
Stammfunktion von   f.

`f(x) = cos(x)`                  
Stammfunktion ?

F   mit   `F(x) = sin(x)`
ist eine Stammfunktion von   f.

`f(x) = 2 x`
Bilden Sie die Stammfunktion von   f,
die durch   P(1|4)   geht.

`F(x) = x^2 + c`       (alle Stammfunktionen von f)
Punktprobe mit   P(1|4):
`F(1) = 1^2 + c = 4`   `=>`   `c = 3`
`F(x) = x^2 + 3`   ist die gesuchte Stammfunktion.

Wie ist   `int_1^3 x::dx`   definiert?

Das ist der Inhalt der (gelben) Fläche unter der Kurve
`f(x) = x`   bis zur x-Achse, die
zwischen den Geraden   `x=1`   und   `x=3`   liegt. agraph xscl=1; xyAchsen(); strokedasharray="4,2"; plot(x-1+1, -1.5,3.5); strokedasharray=null; strokewidth=2; fillopacity=0.5; fill="yellow"; inhalt( x-1+1, 1, 3); endagraph

Wie lautet der Hauptsatz
der Differenzial- und Integralrechnung?

`int_a^b f(x)::dx = F(b)-F(a)` ,
 
wobei   F   eine Stammfunktion von   f   ist.

Wie lautet der Hauptsatz                  
der Differenzial- und Integralrechnung
salopp formuliert?

Man kann den Flächeninhalt unter einer Kurve mit
 
Stammfunktion hinten
    minus
gleiche Stammfunktion vorne
 
berechnen.

Wie liest man
`int_a^b f(x)::dx` ?

Integral von a bis b von f(x) dx

`int_a^b f(x)::dx = [F(x)]_a^b`
 
Richtig?

Ja.
Das ist eine Form des Hauptsatzes
der Differenzial- und Integralrechnung.
 
F   muss eine Stammfunktion von   f   sein.

`int_a^b f(x)::dx = -int_b^a f(x)::dx`
 
Richtig?

Ja.
Vertauscht man die Grenzen, ändert sich
das Vorzeichen.
 
Die Grenzen zu vertauschen bedeutet,
die Integrationsrichtung zu ändern.

Was liefert das Integral?

Das Integral liefert den
orientierten Flächeninhalt.
 
Ein orientierter Flächeninhalt
kann ein negatives Vorzeichen haben.

Wann liefert das Integral nicht den geometrischen
Flächeninhalt?

Wenn die Funktionswerte negativ sind und
die Integrationsrichtung positiv.
 
Wenn die Funktionswerte positiv sind und
die Integrationsrichtung negativ.
 
Wenn die Funktionswerte innerhalb der
Grenzen   a   und   b   das Vorzeichen wechseln.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche
zwischen Kurve   f   und   x-Achse
zwischen   0   und   2.
`f(x) = x-1`

Schnitt von   f   mit   x-Achse: `f(x) = 0` `0 = x-1` `x_1 = 1` `A = int_1^0 (x-1)::dx + int_1^2 (x-1)::dx = 1` Rechnet man   `A_2 = int_0^2 (x-1)::dx`, kommt Null heraus.

agraph xmin=-1.5; xscl=1; xyAchsen(); fillopacity=0.5; fill="yellow"; inhalt(x-1, 0, 2); text([3,-1.5], "gelb: A"); endagraph

Der Inhalt der Fläche unter der Kurve   f   mit
`f(x) = x+1`   zwischen   0   und   2   ist
`int_0^2 x+1::dx` .
 
Richtig?

Falsch.
`x+1`   ist die Erinnerung an eine Rechteckseite und
`dx`   ist die Erinnerung an die andere Rechteckseite.
`x+1`   wird mit   `dx`   `rot("multipliziert")`, deshalb muss
ein `rot("Klammerpaar")` geschrieben werden:
 
`int_0^2 rot("(")x+1 rot(")")::dx`

`int_a^b rot(f(x))::dx`
 
Wie wird `rot(f(x))` allgemein genannt?

Was zwischen dem Integralzeichen und dx steht,
heißt   `rot("Integrand")`.

`int_a^b f(x)::rot(dx)`
 
Wie wird `rot(dx)` genannt?

`rot(dx)`   heißt   Infinitesimal.
 
`rot(dx)`   ist eine Erinnerung an eine der vielen
Rechteckseiten, aus denen das Integral berechnet wurde.

`int_rot(a)^b f(x)::dx`
 
Wie wird `rot(a)` allgemein genannt?

`rot(a)`   ist die untere Grenze des Integrals.
 
Das Integral wird berechnet ab der Geraden
`x = a` .

`int_a^rot(b) f(x)::dx`
 
Wie wird `rot(b)` allgemein genannt?

`rot(b)`   ist die obere Grenze des Integrals.
 
Das Integral wird berechnet bis zur Geraden
`x = b` .

Warum ist das Integralzeichen ein stilisiertes                  
und rundes   S ?

Das Integral ist eigentlich
`int_a^b f(x) dx = lim_(x to oo) Sigma_(i=1)^n f(x_i)*Delta x`
der Grenzwert einer Summe von Rechtecksflächeninhalten.
 
Wie das   S   rund ist gegenüber dem   `Sigma`
(Sigma, großes griechisches S), ist die Fläche
unter einer Kurve rund gegenüber den eckigen
Rechtecken, mit denen ihr Inhalt angenähert wird.

`int_a^a f(x)::dx = 0`   für alle   `a in D_f` .
 
Richtig?

Ja.
Der Flächeninhalt eines Funktionswertes   f(a)
ist Null, weil der Funktionswert nur eine Länge
und keine Breite hat.

`f(x) = x^2-3x`
`g(x) = x`
Inhalt der Fläche zwischen den beiden Kurven?

Schnitt von f und g: `f(x) = g(x)` `x^2-3x = x` `x^2-4x = 0` `x(x-4) = 0` `x_1 = 0`   oder   `x_2 = 4` `f(1) < g(1)`

agraph ymin = -2.6; xscl=1; xyAchsen(); strokedasharray="4,2"; plot( x ); plot(x^2-3x);   strokewidth=2; fillopacity=0.5; fill="yellow"; text([-3.5,1.5], "gelb: A"); strokedasharray="";   inhalt2("x-1+1", "x^2-3x", 0, 4); endagraph

`A = int_0^4 (g(x)-f(x))::dx = int_0^4 (4x-x^2)::dx~~ 10,64`

`f(x) = x^2-3x`
`g(x) = x`
Die beiden Kurven schneiden sich in
`x_1 = 0`   und   `x_2 = 4`   und sonst nirgends.
 
Wie stellt man fest, welche die obere Kurve
in diesem Intervall ist?

Man wählt eine einfache Zahl zwischen 0 und 4,
das wäre z.B. 1, und setzt sie in   `f(x)`   und in   `g(x)`   ein:
 
`f(1) = 1^2-3*1 = -2`
`g(1) = 1`
`f(1) < g(1)`,   also liegt   g   im Intervall   (0, 4)   über   f.
`A = int_1^4 (g(x)-f(x))::dx`   ist der Flächeninhalt zwischen
den beiden Kurven.

`[x+3]_1^4 =` ?

`=(4+3)-(1+3)`
`= 7-4`
`= 3`
 
Auswertung eines Integrals:
Obere Grenze minus untere Grenze.

`int_(-1)^2 x^5::dx = ?`

`= [1/6 x^6]_(-1)^2`
`= 1/6 *2^6 - 1/6 *(-1)^6`
`= 64/6 - 1/6`
`= 63/6`
`= 10,5`

Wie groß ist die Fläche zwischen   f   mit
`f(x) = x^5`,   der x-Achse und   `x = _-1`   und   `x = 2` ?

Schnitt von   f   mit der x-Achse: `f(x) = 0` `x^5 = 0` `x_1 = 0` Links von   `x_1 = 0`   ist   f(x)   negativ, rechts davon ist   f(x)   positiv. Also `A = int_0^(-1) x^5::dx + int_0^2 x^5::dx` `= [1/6*x^6]_0^(-1) + [1/6*x^6]_0^2` `= 1/6*(-1)^6 - 1/6*0^6 + 1/6*2^6 - 1/6 * 0^6` `= 1/6 + 64/6` `= 65/6`

agraph xmin=-2.5; xmax=3.5; ymin=-1.5; height=400; xscl=1; xyAchsen(); strokewidth=2; fill="yellow"; fillopacity=0.5; inhalt(x^5, -1, 2) endagraph

`int_a^b c*f(x)::dx = c*int_a^b f(x)::dx`                  
 
Richtig?

Ja.
Einen konstanten Faktor   c   kann man vor
das Integral ziehen.

`f`   sei Funktion auf Intervall   `[a, b]`.
F   und   G   seien Stammfunktionen von   f.
Welche Beziehung besteht zwischen   F   und   G ?

Es gibt ein   `c in RR`   mit
F(x) = G(x) + c   für alle   `x in [a, b]`

`int_a^b::f(x)::dx + int_b^c::f(x)::dx = int_a^c::f(x)::dx`
Richtig?

Ja.
Die Eigenschaft heißt Intervalladditivität des Integrals.

Wie berechnet man den Mittelwert                  
aller Funktionswert von   `x = 2`   bis   `x=2,5`
von   f   mit   `f(x) = x^2` ?

`m = 1/(2,5-2)* int_2^(2,5)::x^2::dx`

Warum ist   `int_(-1)^2::x::dx`   nicht der                
Inhalt der Fläche zwischen   y = x   und der
x-Achse im Intervall   `[_-1; :: 2]` ?

Das Integral rechnet die Fläche von   -1   bis   0
negativ, weil die Funktionswerte negativ
sind, und zieht diesen Flächeninhalt vom
Flächeninhalt von   0   bis   2   ab.

`f(x) = -e^(-x) +1`
`g(x) = e^x`
Wie entsteht `\ f\ ` aus `\ g ` geometrisch?

`g`   gespiegelt an der y-Achse ergibt   `g_1`   mit   `g_1(x) = e^-x` .
`g_1`   gespiegelt an der x-Achse ergibt   `g_2`   mit   `g_2(x) = -e^-x` .
`g_2`   um 1 verschoben nach oben ergibt   `f`   mit   `f(x) = -e^-x +1` .

Wie lautet die Produktregel?

Wenn `\ f(x) = u(x)*v(x)\ ` ist,
dann ist `\ f´(x) = u´(x)*v(x) + u(x)*v´(x)` .
 
Kurz:   `f=u*v \   => \ f´=u´*v+u*v´`

Wie lautet die Kettenregel?

Wenn `\ f(x) = u(v(x)) = (u @ v)(x)\ ` ist,
wenn also `\ u\ ` die äußere und `\ v\ ` die innere Funktion ist,
dann ist `\ f´(x) = ` äußere `*` innere Ableitung .

`f(x) = (3-2x)^10`
`f´(x) = ?`

`f´(x) = 10*(3-2x)^9*(-2) = -20*(3-2x)^9`
 
mit Potenzregel und Kettenregel abgeleitet

`f(x) = e^-x``
`f´(x) = ?`

`f´(x) = -e^-x`
 
mit Kettenregel abgeleitet

`f(x) = x*e^-x``                                  
`f´(x) = ?`

`f´(x) = e^-x+x*(-e^-x) =e^-x -x*e^-x= e^-x*(1-x)`
 
mit Produkt- und Kettenregel abgeleitet

Bedingung für Wendepunkt?

`f\ ` hat Wendepunkt `\ W(x_0|f(x_0))\ ` genau dann, wenn
`f´´(x_0) = 0`   und `\ f´´`   macht VZW in `\ x_0` .

Satz vom Nullprodukt?

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

`(x-2)(x+5)=0`
weiter?

`## x-2 = 0 oder x+5 = 0 x_1 = 2 # x_2 = -5 ##`
 
Es wäre strategisch falsch, die Gleichung auszumultiplizieren.

`x^4-20x^2+64 = 0`
weiter?

Sei `\ u = x^2` .
`## # u^2-20u+64 # = 0 # u_1,2 # = (20+-sqrt(400-4*64))/2 # u_1,2 # = (20+-12)/2 # u_1=8/2 # oder # u_2=32/2 # u_1=4 # # # u_2=16 # x^2=4 # # # x^2=16 x_1=-2 oder x_2=2 oder x_3=-4 oder x_4=4 ##`

Wie heißt der Monotoniesatz?

Sei `\ f\ ` differenzierbare Funktion in `\ D_{f} = [a, b]` ;
 
`f\ ` ist streng monoton wachsend in `\ D_{f}\ `
genau dann, wenn
`f´(x) > 0\   `   in   (a,b) .
 

Was ist ein Monotonie-Intervall?

`I_M`   ist Monotonie-Intervall von `\ f` ,
 
wenn   `f`   in ganz   `I_M`   monoton wachsend ist,
oder
wenn   `f`   in ganz   `I_M`   monoton fallend ist,
oder
wenn   `f`   in ganz   `I_M`   streng monoton wachsend ist,
oder
wenn   `f`   in ganz   `I_M`   streng monoton fallend ist.

Beweisen Sie, dass   `B(t) = 5-e^(-0,1t)`                  
dauernd wächst.

`B´(t) = e^(-0,1t) > 0`   für alle   `t in RR_0^+` ,
da   `e^x`   für alle x nur positive Werte annehmen kann.
 
Nach dem `rot("Monotoniesatz")` ist bei positivem   `B´`
B   streng monoton wachsend.

Untersuchen Sie   `f`   mit   `f(x) = x^4-2x^2`
auf Monotonie.

`## f´(x) = 4x^3-4x 0 = 4x(x^2-1) 4x_1=0 oder x^2-1=0 x_1=0 # x^2=1 # # x_(2,3)=+-1 ##`	Wegen der Stetigkeit von   `f´`   genügt es, einzelne Zwischenstellen zu untersuchen: `f´(-2) = 4*(-2)^3-4*(-2) = -32+8   rot(< 0)` `f´(-0,5) =4*(-0,5)^3-4*(-0,5) = -0,375 + 1,5 gruen(> 0)` `f´(0,5)   =4* 0,5^3   -4*0,5 = 0,375 - 1,5 rot(< 0)` `f´(2)     =4*   2^3   -4*2 = 32 -8   gruen(> 0)`
agraph ymin=-1.8; height=90; xscl=1; strokewidth=2; verAs( -1 ); verAs( 0 ); verAs( 1 ); stroke="red"; line([xmin, -0.1],[-1, -0.1]); line([0, -0.1],[1, -0.1]); stroke="green";   line([-1, 0.1],[0, 0.1]); line([1, 0.1],[xmax, 0.1]);   endagraph	`f`   ist streng monoton fallend in   `rot(I_1 = (-oo, -1::])` . `f`   ist streng monoton wachsend   in   `gruen(I_2 = [-1, 0])` . `f`   ist streng monoton fallend in   `rot(I_3 = [0, 1])` . `f`   ist streng monoton wachsend in   `gruen(I_4 = [1, oo))` .
agraph ymin=-1.8; height=90; xscl=1; strokewidth=2; plot( x^4-2x^2); verAs( -1 ); verAs( 0 ); verAs( 1 ); endagraph	Es wurde der Monotoniesatz benutzt.

Woran erkennt man einen Wendepunkt
in der Zeichnung von   f ?

Die Kurve geht auf einer Seite in die Wendetangente hinein und auf der anderen Seite aus der Wendetangente heraus.   Bei einer anderen Tangente geht die Kurve auf einer Seite in die Tangente hinein und auf der gleichen Seite heraus.

agraph plot(0.25*(x-1)*(x+1)*(x+3)+ 1); dot([-1,1],"","W", "aboveright"); stroke="green"; gerade([-1,1], [0,0]); dot([-3,1]); gerade([-3,1], [-2,3]); endagraph

Was ist eine differenzierbare Funktion?

Eine Funktion heißt differenzierbar,
wenn sie in jedem Punkt der Definitionsmenge
ableitbar ist.
 
Alle ganzrationalen Funktionen sind differenzierbar.
 
`f`   mit   `f(x) = sqrt(x)`,   `D_{f} = RR_0^+`   ist
nicht differenzierbar in   `x_1 = 0` .
`f(0) = sqrt(0) = 0` , aber   `f´(0)`   hätte im Nenner
null stehen, existiert also nicht.

`f(x) = -x^2 + 2`
f   ist um   2   nach oben verschoben.
 
Richtig?

Eine Funktion kann nicht verschoben sein.
Nur zwei Funktionen können gegeneinander
verschoben sein.
 
Es muss heißen:
`f`   mit   `f(x) = -x^2 + 2`   ist
`g`   mit   `g(x) = -x^2`   verschoben um 2 nach oben.
 
Sobald eine Funktion verschoben ist, verliert sie
ihre Identität und ist eine andere Funktion.
 
Wenn ein Tisch verschoben wird, verliert er nicht
seine Identität und ist kein anderer Tisch.

Verschiebt man eine Vase um 2 nach rechts,
so ist es immer noch die gleiche Vase.
 
Wie ist das bei einer zu verschiebenden Funktion   f ?

Verschiebt man die Funktion, verliert sie ihre
Identität und wird zu   `f_1`   oder   `g`   oder ...
 
Verschiebt man eine Vase, verliert sie nicht
ihre Identität. Es ist immer noch die gleiche
Vase.
 
Eine geometrische Operation (Schiebung, Drehung,
Spiegelung, ...) verändert die Identität einer
Funktion. Ein an der x-Achse gespiegeltes   f   ist
nicht mehr   f   (außer bei der Nullfunktion).

Warum sind die Ableitungen von                  
`f(x) = ln|2x|`   und   `g(x) = ln|x|`
gleich?

`f(x) = ln|2x| = ln(2*|x|) = ln(2) + ln|x|`
`f´(x) = 0 + 1/x = g´(x)`

Über die Logarithmengesetze wird der Faktor 2 zum Summanden ln(2) und die Ableitung eines konstanten Summanden ist 0.   f und g sind gegeneinander um ln(2) in y-Richtung verschoben.

agraph xscl=1; plot(ln(2*abs(x))); stroke="green"; plot(ln(abs(x))); endagraph