`ln(e) = ?`

`ln(e) = 1`

Lösen Sie:
`e^x = 3`

`## e^x = 3 | ln ln::e^x = ln::3 x = ln::3 ##`

Wie sieht der Graph von `\ f(x) = e^x\ ` aus?

agraph xscl=1; plot(e^x); endagraph

`a^b * c^b = ?`

`a^b * c^b = (a*c)^b`

`f(x) = e^x`
Ableitung?

`f´(x) = e^x`

`ln(sqrt(e))= ?`

`ln(sqrt(e))= ln(e^0,5)=0,5`

`e^(2x) = (e^x)^2`
Richtig?

Ja.

`\ f(x) = ln(x)\ `                  
Wie sieht der Graph aus?

agraph xscl=1; plot(ln(x)); endagraph

`ln::1/2 = -ln::2`
Richtig?

Ja.
`ln::1/2 = ln::1 - ln::2 = 0 - ln::2 = -ln::2`

`f(x) = a^x = (e^(ln::a))^x`.
Wie kann man damit f ableiten?

`f(x) = e^((ln::a)*x)`
`f´(x) = ln::a * e^((ln::a)*x) = ln::a * a^x`

`ln::1 = ?`

`ln::1 = 0`
denn `e^0 = 1` .

Wie heißt die Funktionenschar? agraph xscl=1; plot((x+1)^2 - 1); plot((x+2)^2 - 1); plot((x+3)^2 - 1); plot((x+4)^2 - 1); endagraph

`\ f_k(x) = (x+k)^2 - 1\ `;   `k = 1, 2, 3, 4`

`e^(-x) = 1/(e^x)`
Richtig?

Ja.

`ln(a+b) = ?`

`ln(a+b)` kann man im Allgemeinen nicht vereinfachen.
 
Es ist   `ln(a*b) = ln(a)+ln(b)`,
aber `\ ln(a+b)\ ` ist etwas Anderes.

Was ist eine Funktionenschar?

Wenn eine Funktionsgleichung außer x
noch eine Variable enthält, stellt diese
Funktionsgleichung mehrere oder viele
Funktionen dar, eine Schar.

`f(x) = e^(-x)`
Ableitung?

`f´(x) = -e^(-x)`

`ln(0) = ?`

`ln(0)` existiert nicht.
ln ist nur für x > 0 definiert.

`\ f_k(x) = k*x^2 + 3\ `;   `k < 0`
Wie sehen einige Graphen aus?

agraph xscl=1; plot(-x^2 + 3); stroke="red"; plot(-2x^2 + 3); stroke="orange"; plot(-1/2 x^2 + 3); stroke="green"; plot(-1/4 x^2 + 3); text([-5,-1.5], "`f_(-1/4)`", "left"); text([-3.5,-2.0], "`f_(-1/2)`", "left"); text([-2.4,-1.5], "`f_(-1)`", "left"); text([-1.6,-2.5], "`f_(-2)`", "left"); endagraph

`e^(0,5::x) = 0,5*e^x`
Richtig?

Nein.
`e^(0,5x) = (e^x)^(1/2) = sqrt(e^x)`

`e^x = 5`   `| *ln`
Richtig, um nach x aufzulösen?

Nein.
ln ist keine Zahl, mit der man multiplizieren könnte.
ln ist eine Funktion.
Man kann ln von der linken Seite nehmen und
ln von der rechten Seite.
`e^x = 5`   `|\ ln`     ist richtig
`e^x = 5`   `|\ ln()`   ist richtig

`ax^2 = ax`   |:a
Was muss man beachten?

Man darf nur durch a teilen, wenn man
weiß (und notiert), dass `a != 0` ist. Z.B.:
 
`ax^2 = ax`   |:a, da `a!=0` nach Aufgabentext

`ln(a/b) = ln(a) / ln(b)`
Richtig?

Nein.
`ln(a/b) = ln(a) - ln(b)`
für `a>0, b>0`

`ln(-3) = ?`

`ln(-3)` existiert nicht.
ln ist nur für x > 0 definiert.

Wie lautet der Satz vom Nullprodukt?

Ein Produkt ist genau dann null,
wenn mindestens ein Faktor null ist.

`a^b*a^c = ?`

`a^b*a^c = a^(b+c)`
Das ist ein Potenzsatz.

`\ f(x) = e^(-x)\ `                  
Wie sieht der Graph aus?

agraph xscl=1; plot(e^(-x)) endagraph

`ln::3^x = ?`

`ln::3^x = x*ln::3`

Warum sind die Ableitungen von                  
`f(x) = ln|2x|`   und   `g(x) = ln|x|`
gleich?

`f(x) = ln|2x| = ln(2*|x|) = ln(2) + ln|x|`
`f´(x) = 0 + 1/x = g´(x)`

Über die Logarithmengesetze wird der Faktor 2 zum Summanden ln(2), und die Ableitung eines konstanten Summanden ist 0.   `blau(f)` ist `gruen(g)` um ln(2) in y-Richtung verschoben.

agraph xscl=1; plot(ln(2*abs(x))); stroke="green"; plot(ln(abs(x))); endagraph