Wozu braucht man verkettete Funktionen?

Um naturwissenschaftliche oder technische
Vorgänge abzubilden (oder nachzumachen)
braucht man möglichst viele verschiedene
Funktionen.
 
Wenn man weiß, wie zwei oder mehr Funktionen
verkettet sind, kann man aus den einfacheren
Kettengliedern die Ableitungen der komplizierteren
Verkettungen bilden und kann so technisch weiter
kommen.

`f(x) = 2*x`
`g(x) = 4-x`
 
`f(g(x)) = ?`

`f(g(x)) = f(4-x) = 2*(4-x) = 8 - 2x`

Was bedeutet `\ f @ g \ ` ?

`f@g\ ` heißt:   f verknüpft mit g
`(f@g)(x) = f(g(x))`
 
`f`, `g` und `f@g` sind Funktionen.
`f(x)` ist der Funktionswert von f an der Stelle x .
`(f@g)(x)` ist der Funktionswert von `f@g` an der Stelle x .
 
Im Allgemeinen ist `f@g` eine andere Funktion
als f und eine andere Funktion als g .

`f(x) = 2*x`
`g(x) = 4-x`
 
`g(f(x)) = ?`

`g(f(x)) = g(2*x) = 4-2*x `

Für alle Funktionen f und g gilt:
`f@g = g@f` .
 
Richtig?

Falsch.
Im allgemeinen ist Verknüpfung von Funktionen
nicht kommutativ.
 
Das sieht man schon, wenn man eine additive
Funktion mit einer multiplikativen verknüpft.

`f(x) = 5-x`
`g(x) = x-3`
 
`f(g(x)) = ?`

`f(g(x)) = f(x-3)= 5-(x-3) = 8-x   `
 
 

`f(x) = sqrt(x)`
`g(x) = 4-x`
 
`f(g(x)) = ?`

`f(g(x)) = f(4-x) = sqrt(4-x)   `
 
 

`f(x) = sqrt(x)`
`g(x) = 4-x`
 
`g(f(x)) = ?`

`g(f(x)) = g(sqrt(x)) = 4-sqrt(x)   `
 
 

`f(x) = 4/(x-3)`
`g(x) = 2-x^2`
 
`f(g(x)) = ?`

`f(g(x)) = f(2-x^2) = 4/(2-x^2   -3) = 4/(-1-x^2) = (-4)/(1+x^2) `
 
 

`f(x) = sin(x+pi)`
`g(x) = 3x`
 
`f(g(x)) = ?`

`f(g(x)) = f(3x)= sin(3x+pi)   `
 
 

`f(x) = x^2 - 3x + 5`
`g(x) = x-3`
 
`f(g(x)) = ?`

`f(g(x)) = f(x-3)= (x-3)^2 - 3*(x-3) + 5   `
`= x^2 - 6x + 9 - 3x + 9 + 5`
`= x^2 - 9x + 23`
 

`f(x) = 4*sin(pi x)`
Schreiben Sie f als Verkettung von u und v .

`## u(x) = 4*sin(x) # "u;ist;äußere;Funktion" v(x) = pix # "v;ist;innere;Funktion" f(x) = u(v(x)) ##`
 

`f(x) = sqrt(1+sin(x))`
Schreiben Sie f als Verkettung von u und v .

`## u(x) = sqrt(x) # "u;ist;äußere;Funktion" v(x) = 1+sin(x) # "v;ist;innere;Funktion" f(x) = u(v(x)) ##`
 

`f(x) = 1/(4-x^2)`
Schreiben Sie f als Verkettung von u und v .

`## u(x) = 1/x # "u;ist;äußere;Funktion" v(x) = 4-x^2 # "v;ist;innere;Funktion" f(x) = u(v(x)) ##` `rot("oder:")` `## w(x) = 1/(4-x) # "w;ist;äußere;Funktion" y(x) = x^2 # "y;ist;innere;Funktion" f(x) = w(y(x)) ##`
 
`u(v(x))` ist leichter ableitbar als `w(y(x))`

`f(x) = (sin(x))^2`
Schreiben Sie f als Verkettung von u und v .

`## u(x) = x^2 # "u;ist;äußere;Funktion" v(x) = sin(x) # "v;ist;innere;Funktion" f(x) = u(v(x)) ##`
 
`sin^2(x) = (sin(x))^2`    (sieht man in manchen Büchern zur Klammerersparnis)

`f(x) = sin(x^2)`
Schreiben Sie f als Verkettung von u und v .

`## u(x) = sin(x) # "u;ist;äußere;Funktion" v(x) = x^2 # "v;ist;innere;Funktion" f(x) = u(v(x)) ##`