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Der Ort der Hochpunkte aller (Graphen der) `f_a` muss hier auf eine halbe Parabel ein- geschränkt werden, weil `a >= 0` ist. `g` mit `g(x) = x^2`, `rot(x) >= 0` ist Ort aller Hochpunkt der `f_a` . | agraph xscl=1; stroke="violet"; plot(x*(0.5-x)); stroke="red"; plot(x*(1-x)); stroke="green"; plot(x*(2-x)); stroke="black"; plot(x*(3-x)); moveM([0,-2.5]); endagraph |
`f_a´(x) = e^x+(x-a)*e^x = e^x*(1+x-a)` Extrempunkte: `f_a´(x) = 0` (unvollst. Bed.) `0 = e^x*(1+x-a)` `0 = 1+x-a` `x_1 = a-1` `f_a(x_1) = f_a(a-1) = (a-1-a)*e^(a-1) = -e^(a-1)` `E_a(a-1|-e^(a-1))` sind eventuell Extrempunkte von `f_a` . `## x = a-1 y = -e^(a-1) ##` `} => y = -e^x` ist Ort der Extrempunkte. `f_a´´(x) = e^x*(2+x-a)` `f_a´´(a-1) = e^(a-1) > 0`, also ist `E_a` Tiefpunkt für alle a . | agraph ymin=-7.5; height=350; xscl=1; xyAchsen2(); colors = ["none","red","black","violet","green"]; for (u=1; u<=4; u+=1) { stroke = colors[u]; plot( (x-u)* e^x);} moveM([-3,-4.5]); endagraph |
Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen von `f_t` mit `f_t(x) = t+ e^x`; `x in RR`; `t >= 0` . | agraph ymin=-1.5; xscl=1; xyAchsen2(); colors = ["none","red","black","violet","green"]; for (u=1; u<=4; u+=1) { stroke = colors[u]; plot( u+ e^x);} endagraph |
`f_a(x) = ax-x^2` `f_a´(x) = a - 2x` Extrempunkte: `f_a´(x) = 0` (unvollst. Bed.) `0 = a - 2x` `2x = a` `x_1 = a/2` `f_a(x_1) = f_a(a/2) = a/2*(a-a/2) = a/2*a/2 = a^2/4` `E_a(a/2|a^2/4)` sind eventuelle Extrempunkte von `f_a` . `## x = a/2 y = a^2/4 = a/2*a/2 ##` `} => y = x^2` ist Ort der Extrempunkte. `f_a´´(x_1) = -2 < 0` unabhängig von a, also für alle `a in RR`, damit ist `E_a` Hochpunkt von `f_a` für jedes a . | agraph ymin=-7.5; height=350; xscl=1; xyAchsen2(); colors = ["none","red","black","violet","green"]; for (u=1; u<=4; u+=1) { stroke = colors[u]; plot(x*(u-x));} moveM([-3,-4.5]); endagraph |
`f_a(x) = x^2/4-(ax)/4 + a` `f_a´(x) = x/2-a/4` Extrempunkte: `f_a´(x) = 0` (unvollst. Bed.) `0 = x/2-a/4` `|*2` `0 = x-a/2` `x_1 = a/2` `f_a(x_1) = f_a(a/2) = a/8 *(a/2-a) + a = a/8*(-a/2) + a = -a^2/16 + a` `E_a(a/2|a-a^2/16)` sind eventuelle Extrempunkte von `f_a` . `## x = a/2 y = a-a^2/16 ##` `} => y =2x-((2x)^2)/16 = 2x - x^2/4 = x/4(8-x)` ist Ort der Extrempunkte aller `f_a` . | agraph xmin=-2.5; xmax=10.5; ymin=-3.5; height=350; width=350; xscl=1; xyAchsen2(); colors = ["none","red","black","violet","green"]; for (u=1; u<=4; u+=1) { stroke = colors[u]; plot(0.25*x*(x-u)+u);} moveM([3,-2.5]); endagraph `f_a´´(x_1) = 1/2 > 0` unabhängig von a, also für alle `a in RR`, damit ist `E_a` Tiefpunkt von `f_a` für jedes a . |
`f_a´(x) = -2x+2a` Extrempunkte: `f_a´(x) = 0` (unvollst. Bed.) `0 = -2x+2a` `2x = 2a` `x_1 = a` `f_a(x_1) = f_a(a) = -a^2 + 2a*a-a^2+a/2+1 = a/2+1` `E_a(a|a/2+1)` sind eventuelle Extrempunkte von `f_a` . `## x = a y = a/2+1 ##` `} => y = x/2+1` ist Ort der Extrempunkte aller `f_a` . `f_a´´(x_1) = -2 < 0` unabhängig von a, also für alle `a in RR`, damit ist `E_a` Hochpunkt von `f_a` für jedes a . | agraph xmin=-2.5; xmax=10.5; ymin=-3.5; height=300; width=350; xscl=1; xyAchsen2(); colors = ["none","red","black","violet","green"]; for (u=1; u<=4; u+=1) { stroke = colors[u]; plot(-x^2+2u*x-u^2+u/2+1);} moveM([3,6.5]); endagraph |