Stellt man eine lineare Gleichung mit 2 Variablen in einem Koordinatensystem dar, ergibt sich eine Linie (Gerade): agraph xscl=1; plot( -1/4*x+1); endagraph
Geben Sie eine nichtlineare Gleichung an.
`x^2 = sqrt(3)` ist nicht linear, weil x quadriert wird.
`5x_1^3 - 4 x_2 = 3` ist nicht linear, weil `x_1` potenziert wird.
`x_1 - sqrt(3)*x_2 = 7` ist eine lineare Gleichung.
Richtig?
Ja. `sqrt(3)` stört nicht. Wichtig ist, dass weder aus `x_1` noch aus `x_2` die Wurzel gezogen wird.
`x_1 - 3*sqrt(x_2) = 7` ist eine lineare Gleichung.
Richtig?
Nein. Wegen der Wurzel in `sqrt(x_2)` ist die Gleichung nicht linear.
Stellt man die Gleichung in einem Koordinatensystem dar, ergibt dies keine gerade Linie.
Lösen Sie das LGS
`##[
x_1 -x_2 = 0
2x_1 +4x_2 = 6
##`
graphisch
agraph xscl=1; plot("x"); stroke="green"; plot(-0.5*x+ 1.5); endagraph So umgeformt lassen sich die Gleichungen zeichnen:
`##[
x_2 = x_1 # "(blau)"
x_2 = -0,5x_1 +1,5 "(grün)"
##`
Die Lösung des LGS ist der Schnittpunkt S(1|1).
Interpretieren Sie das LGS und seine Lösung(en) geometrisch
`##[
x_1 -x_2 +x_3 = 4
2x_1 +4x_2 -x_3 = 8
##`
Jede der beiden Gleichungen stellt eine Ebene dar. Die Normalenvektoren der beiden Ebenen sind nicht parallel, also sind die Ebenen nicht parallel. `vec(n) = ((1),(-1),(1)) != k* ((2),(4),(-1)) = vec(m)` Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Es gibt unendlich viele Lösungen, die Punkte der Schnittgeraden.
Interpretieren Sie das LGS und seine Lösung(en) geometrisch
`##[
x_1 -x_2 +x_3 = 4
x_1 -x_2 +x_3 = 8
##`
Jede der beiden Gleichungen stellt eine Ebene dar. Die Normalenvektoren der beiden Ebenen sind parallel, also sind die Ebenen parallel. `vec(n) = ((1),(-1),(1)) = vec(m)`
Da `4 != 8` ist, haben die beiden Ebenen einen Abstand voneinander und schneiden sich nicht. Die Lösungsmenge ist leer.
Interpretieren Sie das LGS und seine Lösung(en) geometrisch
`##[
x_1 -x_2 +x_3 = 4
-2x_1 +2x_2 -2x_3 = -8
##`
Jede der beiden Gleichungen stellt eine Ebene dar. Die Normalenvektoren der beiden Ebenen sind parallel, also sind die Ebenen parallel. `vec(n) = ((1),(-1),(1)) = -1/2*((-2),(2),(-2)) =vec(m)` Da `4 = -1/2*(-8)` ist, sind die beiden Ebenen identisch.
Die Lösungsmenge enthält alle Punkte der Ebene `x_1 -x_2 +x_3 = 4`
Welche Möglichkeiten gibt es für die Lösungsmenge eines LGS mit 2 Gleichungen und 2 Variablen?
Ein LGS kann keine Lösung haben (`LL = { :: }`), eine Lösung oder unendlich viele Lösungen.
Bei unendlich vielen Lösungen gibt es zwei Fälle: 1. Fall: Die Lösungsmenge enthält die Punkte einer Geraden. 2. Fall: Die Lösungsmenge enthält alle Punkte der `x_1`-`x_2`-Ebene.
Es ist nicht möglich, dass ein LGS genau 2 Lösungen hat.
Welche Möglichkeiten gibt es für die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung `ax^2 + bx + c = 0` ?
Es gibt 3 Fälle: * D < 0: keine Lösung * D = 0: eine Lösung, * D > 0: zwei Lösungen. `x_{1,2} = (-b+- sqrt(b^2-4ac))/(2a)` `D = b^2-4ac` ist die Diskriminante.
Wie fängt man an, dieses LGS ohne GTR zu lösen:
`##[
x_1 -x_2 +x_3 = 4
2x_1 +4x_2 -x_3 = 8
3x_1 -2x_2 +x_3 = 5
##`
Man erzeugt in der 3. Spalte ein "Doppelloch", indem man die Gleichung (2) ersetzt durch (1)+(3) und die Gleichung (3) ersetzt durch (1)-(3) :
`##[
x_1 -x_2 +x_3 = 4
3x_1 +3x_2 # = 12
-2x_1 +x_2 # = -1
##`
Jetzt ist die Hauptarbeit mit wenig Rechenoperationen getan.
Welche Arten von Ebenengleichungen gibt es?
* Parametergleichung der Ebene * Normalengleichung der Ebene * Koordinatengleichung der Ebene
Man kann auch * Parameterform * Normalenform * Koordinatenform sagen.
Drei Punkte A(2|1|0), B(3|3|3), C(-1|2|-3) einer Ebene sind gegeben. Welche Ebenengleichung ist am schnellsten aufgestellt?
Die Parametergleichung ist am schnellsten aufgestellt: `E:\ vec(x) = vec(OA) + r *vec(AB) + s* vec(AC)`; `r, s in RR`
Eine Ebene ist in Parameterform gegeben: `E:\ vec(x) = ((2),(1),(0)) + r*((1),(2),(3)) + s*((-3),(1),(-3))` Wandeln Sie E um in Normalenform.
Man bildet das Vektorprodukt der Spannvektoren, um den Normalenvektor `vec(n)` zu erhalten: `((1),(2),(3)) xx ((-3),(1),(-3)) = ((2*(-3)-3*1),(3*(-3)-(-3*1)),(1*1-2*(-3))) = ((-9),(-6),(7))= vec(n)` `E: \ (vec(x)-((2),(1),(0)))*((-9),(-6),(7))=0`
Was weiß man über das Vektorprodukt?
agraph ymin=-2.1; xmin=-4; xmax=4.3; noaxes(); angleArc([4,1],[0,0],[-.75,3],0.5, 1.1, "", "rw"); angleArc([-.75,3],[0,0],[-1,-1],0.6, 1.1, "", "rw"); fill="yellow"; fillopacity = 0.5; path([[0,0], [-1,-1], [3,0], [4,1], [0,0]]); strokewidth=2; vector([0,0],[-1,-1]); vector([0,0],[4,1]); stroke="red"; vector([0,0],[-.75,3]); text([-1.6,-1.0], "`vec(a)`" ); text([2.0,2.0], "`vec(b)`" ); text([-3.2,3.0], "`vec(a) xx vec(b)`" ); endagraph Vektor `vec(a)` und `vec(b)` spannen ein Parallelogramm auf. Der Vektor `vec(a) xx vec(b)` steht senkrecht auf `vec(a)` und senkrecht auf `vec(b)` . `|vec(a) xx vec(b)|` ist der Flächeninhalt des Parallelogramms.
Für Anwendungen bei Ebenen ist in `vec(n) = k*(vec(a) xx vec(b))` das k so gewählt, dass für `vec(n)` möglichst kleine ganze Zahlen und möglichst wenige Minuszeichen herauskommen.
Rechte-Hand-Regel: Zeigt `vec(a)` in Richtung Daumen, `vec(b)` in Richtung Zeigefinger, so zeigt `vec(a) xx vec(b)` in Richtung des Mittelfingers.
Wie lautet der einfachste `vec(n)`, der senkrecht auf `((6),(2),(3))` und `((-8),(4),(2))` steht?
`((6),(2),(3)) xx ((-8),(4),(2)) = ((4-12),(-24-12),(24+16)) = ((-8),(-36),(40)) = k*((2),(9),(-10))` `=> \ vec(n) = ((2),(9),(-10))` Hätte man `k = 4` gewählt, wären in `vec(n)` noch zwei Minuszeichen.
Warum stellt man den `vec(n)` mit möglichst kleinen ganzen Zahlen und möglichst wenig Minuszeichen dar?
Mit `vec(n)` muss man häufig weitere Rechnungen durchführen. Je größer die Zahlen sind, je mehr Brüche und Minuszeichen in den Vektorkoordinaten vorkommen, desto fehleranfälliger sind die weiteren Rechnungen.
Man stellt sich nicht selbst ein Bein und wählt den einfachsten ganzzahligen Normalenvektor, weil die Länge des Normalenvektors meistens gleichgültig ist.
Wandeln Sie `E: \ (vec(x)-((2),(1),(0)))*((-9),(-6),(7))=0` um in Koordinatenform.
Hätten wir für `vec(n) = ((9),(6),(-7))` gewählt, hätten wir erhalten: `=> \ E: \ 9x_1+6x_2-7x_3 = 24` Diese Koordinatengleichung von E ist wesentlich weniger fehleranfällig.
Veranschaulichen Sie, wie 3 Ebenen mit Normalenvektoren, die paarweise nicht parallel sind, keinen gemeinsamen Punkt haben können.
agraph xyzAchsen( 5, 5, 5.5, 3.5 ); fill="yellow"; fillopacity = 0.5; path([ d3([0,0,0]), d3([-3,0,0]), d3([-3,0,2]), d3([0,0,2]), d3([0,0,0]), ]); fill="orange"; fillopacity = 0.2; path([ d3([0,0,0]), d3([0,3,0]), d3([-3,3,0]), d3([-3,0,0]), d3([0,0,0]), ]); fill="red"; fillopacity = 0.1; path([ d3([0,0,2]), d3([0,3,0]), d3([-3,3,0]), d3([-3,0,2]), d3([0,0,2]), ]); endagraph Die drei Normalenvektoren `vec(n)=((0),(1),(0))`, `vec(m)=((0),(0),(1))` und `vec(p)=((0),(2),(3))` liegen so, dass jeder mit den beiden anderen darstellbar ist, z.B.: `vec(p) = 2*vec(n) + 3*vec(m)`
Man kann auch sagen, die drei Normalenvektoren liegen in einer Ebene (der `x_2`-`x_3`-Ebene).
Eine Ebene E geht durch A(0|2|3), B(4|1|-2) und C(3|1|1). Stellen Sie eine Normalengleichung von E auf.
`E: \ (vec(x) - vec(OA))*vec(n) = 0` Vektorprodukt zur Bestimmung von `vec(n)`, der senkrecht auf `vec(AB)` und `vec(AC)` stehen soll: `((4),(-1),(-5)) xx ((3),(-1),(-2)) = ((-3),(-7),(-1)) = (-1)*((3),(7),(1)) = -vec(n)` `E: \ (vec(x) - ((0),(2),(3)))*((3),(7),(1)) = 0`
Geben Sie eine Koordinatengleichung einer Ebene F an, die senkrecht auf `E: \ x_1 + 2x_2 + x_3 = 4` steht und den Ursprung enthält.
`vec(n) _|_ vec(m)\ => \ ((1),(2),(1)) * ((m_1),(m_2),(m_3)) = 0` `vec(m) = ((1),(0),(-1))` ist eine mögliche Lösung. `F: \ x_1 - x_3 = 0` ist die gesuchte Ebene F .
Geben Sie eine Koordinatengleichung einer Ebene F an, die paralle zu `E: \ x_1 + 2x_2 + x_3 = 4` ist und durch P(0|-3|0) geht.
`vec(n) :: || :: vec(m) ` `\ => \ m = ((1),(2),(1))` ist ein möglicher Normalenvektor von F . Punktprobe von P mit `F: \ x_1 + 2 x_2 + x_3 = f` : `0 + 2*(-3) + 0 = f \ => \ f = -6` `F: \ x_1 +2x_2 + x_3 = -6` ist die gesuchte Ebene F .
Formen Sie `E:\ (vec(x) - ((1),(0),(-2)))*((2),(-1),(3)) = 0` um in Koordinatenform.
`E: \ 2x_1 - x_2 + 3x_3 = e` Punktprobe E mit P(1|0|-2): `2*1 -0 + 3*(-2) = e \ => \ 2-6 = e \ => \ e = -4` Koordinatenform von E: `E: \ 2x_1 - x_2 + 3x_3 = -4`
Geben Sie ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Variablen an, dessen Lösungsmenge eine Ebene ist.
`##[
0*x_1 + 0*x_2 = 0
0*x_1 + 0*x_2 = 0
##`
So ein Gleichungssystem nennt man trivial. Es gibt keine Einschränkung für die beiden Variablen und keinen Unterschied zwischen den beiden Gleichungen. Also sind alle Punkte `(x_1|x_2)` Lösung des LGS. Das ist die ganze `x_1`-`x_2`-Ebene.
Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für dieses LGS:
`##[
2x_1 + x_2 - x_3 = 4
2x_1 + ax_2 - x_3 = 4
##`
1. Fall: `a = 1` Dann sind die beiden Gleichungen identisch. Die Lösungsmenge enthält alle Punkte der Ebene `E: \ 2x_1 + x_2 - x_3 = 4` und ist zweidimensional.
2. Fall: `a != 1` Die beiden Gleichungen stellen Ebenen dar. Die Richtungsvektoren der beiden Ebenen sind kein Vielfaches voneinander, also schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden. Die Lösungsmenge enthält alle Punkte der Schnittgeraden und ist eindimensional.