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geiring.de > Math > Math 11 > Lösung Buch S. 71, 10
`v(t) = 2,5*(1-e^(-0,1t))`
a) `v(0) = 2,5*(1-e^(-0,1*0)) = 2,5*(1-e^0) = 2,5*(1-1) = 0 ` Zu Beginn hat der Stein Sinkgeschwindigkeit 0; er ruht. `v(10) = 2,5*(1-e^(-0,1*10)) = 2,5*(1-e^-1) ~~ 1.58 ` Nach 10 Sekunden hat der Stein die Geschwindigkeit `1,6 :: m/s` . b) agraph graphsize=3.2; xmin=-1.5; xmax=22.5; ymin=-1.5; width=400; height=100; xscl=1; horAs( 2.5, "red" ); //dot([6, 0.4], "", "P(6|0,4)", "leftabove"); plot(2.5*(1-e^(-0.1*x)), 0, xmax, 100 ); stroke="black" plotAbl(1, "2.5*(1-e^(-0.1*x))", -0.3, xmax, 100); endagraph c) Zeit mit `v = 2::m/s` ? GTR: Y1 = 2.5*(1-e^(-0.1*x), Y2 = 2 2nd TRACE INTERSECT ergibt: Nach 16 s sinkt der Stein mit Geschwindigkeit `2::m/s` . d) `lim_{t -> oo} :: v(t) = lim_{t -> oo} :: (2,5*(1-e^(-0,1t)))= 2,5*(1-0) =2,5` Der Stein erreicht praktisch die Geschwindigkeit `2,5::m/s` ; theoretisch erreicht er sie nicht, kommt ihr aber beliebig nahe. e) `v(t)= 2,5*(1-e^(-0,1t))=2,5-2,5*e^(-0,1t)` `v´(t)= 0,1*2,5*e^(-0,1t)= 0,25*e^(-0,1t)` `e^x > 0` für alle `x in RR`, also ist auch `e^(-0,1t) > 0` für alle `t >= 0` . Alle anderen Zahlen im Funktionsterm von `v´` sind positiv, also ist `v´(t) > 0` für alle `t >= 0` . Nach dem Monotoniesatz ist v streng monoton wachsend für alle `t >= 0` . f) `Delta:: v = v(t_2)-v(t_1) = 2,5*(1-e^(-0,1*5)) -2,5*(1-e^(-0,1*2))` `~~ 0,98367-0,45317 = 0,5305 ` g) Beschleunigung ist Ableitung der Geschwindigkeit: `a(t) = h´(t)= 2,5*0,1*e^(-0,1t)` `a(2) = h´(2) = 2,5*0,1*e^(-0,1*2) = 2,5*0,1*e^(-0,2)` ` ~~ 0,20468` Nach 2 Sekunden erfährt der Stein die Beschleunigung `0,20 :: m/s^2` . h) Man zeichnet Y3 = nDeriv( Y1, X, X ), vergrößert mit WINDOW und sieht, dass Y3 sein Maximum für `t = 0` hat. Oder: Man sieht, dass Y1 die steilste Tangente in `t=0` hat. |