`h(t) = 0,02*e^(kt)`
a) `h(0) = 0,02*e^(k*0) = 0,02*e^0 = 0,02*1 = 0,02` Zu Anfang ist die Kletterpflanze 0,02 m hoch. b) 40 cm nach 6 Wochen: `## h(6) = 0,4 0,02*e^(k*6) = 0,4 e^(6k) = 20 6k = ln(20) k = (ln(20))/6 k ~~ 0,4993 ##` Die Bedingung führt auf `k ~~ 0,4993` und somit `h(t) = 0,02*e^(0,4993*t)` c) Höhe nach 9 Wochen? `h(9) = 0,02*e^(0,4993*9) ~~ 1,79` Die Pflanze ist nach 9 Wochen ca. 1,80 m hoch. d) Wann 3 m hoch? `h(t) = 3` `0,02*e^(kt) = 3` `e^(kt) = 3/0,02` `e^(kt) = 150` `kt = ln(150)` `t_2 = (ln(150))/k` `t_2 ~~ 10,04` Nach 10 Wochen ist die Pflanze 3,00 m hoch. e) Wann 150 cm/Woche? `h(t+1)-h(t) = 1,5` ` 0,02*e^(k(t+1)) - 0,02*e^(kt) = 1,5` ` 0,02*e^(kt)*e^k - 0,02*e^(kt) = 1,5` ` 0,02*e^(kt)*(e^k - 1) = 1,5` |
` e^(kt) = 1,5 /(0,02*(e^k-1)`
` e^(kt) ~~ 115,82` ` kt ~~ ln(115,82)` ` t_3 ~~ ln(115,82)/k ~~ 9,52` Von 9,5 Wochen bis 10,5 Wochen wächst die Pflanze in einer Woche um 150 cm. f) mom. ÄndR 1 m pro Woche? `h´(t) = 1` GTR: Y1 = 0.02*e^(0.4993X); Intersect Y2 = nDeriv(Y1, X, X) mit Y3 = 1 ergibt: `t_4 ~~ 9,226` Die momentane Wachstumsrate 1 m pro Woche ist 9,23 Wochen (9 Wochen und anderthalb Tage) nach Beobachtungsbe- ginn vorhanden. g) `k(t) = 3,5 - 8,2e^(-0,175t)` für `t >= 9` `k(t) = 3` `3,5 - 8,2e^(-0,1753*t) = 3` `0,5 = 8,2e^(-0,1753*t)` `(0,5)/(8,2) = e^(-0,1753*t)` `ln ((0,5)/(8,2)) = -0,1753*t` `t~~ -ln((0,5)/(8,2))/0,1753` `t_4~~ 15,96` Nach der neuen Modellierung ist die Pflanze nach ca. 16 Wochen 3 m hoch. Die Aufgabe ist rechnerisch zu lösen. Es hilft, wenn man den Film, der durch Mausbewegung in x-Richtung und in y-Richtung entsteht, sich ohne Zeichnung und Maus vor seinem geistigen Auge konstruieren und ablaufen lassen kann. bb) Verändern Sie k so, dass die blaue Kurve auf die schwarze zu liegen kommt. ee) Stellen Sie die Höhendifferenz zwischen R und S auf 1.5 ein. ff) nicht dargestellt: Zeichnen Sie einige Szenen des Films von f) auf Papier und erläutern Sie. |