Bewegen Sie die Maus auf dem Diagramm.
agraph
xmin=-1.7; xmax=60.5;
ymin=-0.04; ymax=0.23;
width=1200; height=450;
xscl=1; yscl=0.05;
n=25;
p=0.3;
eps = 0.4; // halbe Balkenbreite
fill = "lightblue";
for (var k = 0; k <= n; k += 1 ) {
bnp = C(n, k)*Math.pow(p,k)*Math.pow(1-p, n-k );
rect([ k-eps, 0 ],[ k+eps, bnp]);
}
stroke="red";
fill="none";
path([ [0,ymax], [0,-0.025], [n,-0.025], [n,ymax] ]);
stroke="blue";
text([3,-0.03], "n");
text([7.5,-0.03], "p");
text([12,-0.03], "k");
text([16,-0.03], "`B_{n,p}(k)`","", "Meld7");
text([20,-0.03], "aufaddiert");
endagraph
Mit der vertikalen blauen Linie kann man den Annahme- und
Ablehnungsbereich beim Testen von Hypothesen leicht einstellen.
Bei Doppelklick auf die Graphik können Sie n und p verändern.
Schauen Sie sich die Binomialverteilung unbedingt für verschiedene p an.
Ist beim linksseitigen Test (`H_0: \ p = 0.3`, `H_1: \ p < 0.3`)
die Irrtumswahrscheinlichkeit `alpha = 5::% = 0,05` vorgegeben, so bewegt
man die vertikale blaue Linie von links k = 0 so weit nach rechts,
bis in der Summenwahrscheinlichkeit die Zahl größer als 0,05 wird.
Bei der vorgegebenen Graphik ist das kleinste a mit
`Sigma_{i=0}^a ::B_{n,p}(i) > alpha`
gerade a = 4 . Also ist der Annahmebereich [a; n] = [4; 25] und der
Ablehnungsbereich ist [0; a-1] = [0; 3];
Bsp.: Man wirft 25 Mal auf eine Scheibe und behauptet, die
Einzeltrefferwahrscheinlichkeit sei 0,3000 und testet diese Behauptung
mit der Irrtumswahrscheinlichkeit `alpha = 5 :: %` . Unser "Gegner"
behauptet, die Einzeltrefferwahrscheinlichkeit sei kleiner. Die Scheibe
wird genau sechs Mal getroffen. Wie wird entschieden?
Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Die Hypothesen lauten:
`H_0: \ p = 0.3`
`H_1: \ p < 0.3`
Berechnung des Annahmebereichs [a; n] = [a; 25] :
Suche kleinstes a mit `Sigma_{i=0}^a ::B_{n,p}(i) > alpha`:
GTR ergibt:
`##
k "binomcdf"
3 0.0332
- 0.0500
4 0.0905
##`
Ablehnungsbereich: [0; 3 ], Annahmebereich: [4; 25] .
`6 in [4; 25]`; die Nullhypothese wird aufgrund des Tests beibehalten.
`B_{n,p}(k) = ((n), (k)) * p^k * (1-p)^(n-k) = (n!)/(k!*(n-k)!)* p^i * (1-p)^(n-i)`
`Sigma`: Groß Sigma wie Summe, z.B. `Sigma_{i=0}^3 ::i^2 = 0^2+1^2+2^2+3^2 = 0+1+4+9 = 14`
i beim Summenzeichen heißt Laufvariable, i nimmt Werte von natürlichen Zahlen an.
[0; 3] meint die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3 . Die Intervallschreibeweise [ ; ]
ist eingeschränkt auf die natürlichen Zahlen.