Ein ZE wird 7 Mal durchgeführt. Ereignis A tritt 3 Mal ein. Wie groß ist die absolute Häufigkeit von A?
`H(A) = 3`.
Die "6" tritt bei 200 Würfen mit einem Würfel 32 Mal auf. Relative Häufigkeit der "6" ?
`h("6") = 32/200 = 16/100 = 16 %`
Wie ermittelt man Wahrscheinlichkeiten?
Wahrscheinlichkeiten sind die relativen Häufigkeiten bei sehr vielen Durchführungen eines Zufallsexperiments, weil sich dann die relativen Häufigkeiten stabilisieren.
Welche Eigenschaften haben Wahrscheinlichkeiten?
Sei `S = {e_1, e_2, ..., e_n}` . Sei P eine Funktion auf S . Wenn gilt (1) `0 <= P(e_i) <= 1` für alle `i in NN` mit `1 <= i <= n` und (2) `P(e_1) + P(e_2) + ... + P(e_n) = 1` , dann heißt P Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Zahl `P(e_i)` heißt Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses `e_i` für jedes i .
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion kann man auf natürliche Weise auf Ereignisse ausdehnen. Sei `A = {e_1, e_3, e_19}` . Wie ?
Man definiert: `P(A) = P(e_1)+P(e_3)+P(e_19)` .
Wie nennt man die Zuordnung `e_i |-> P(e_i)` für `1 <= i <= n` ?
P ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Sei P eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. P(S) = ?
P(S) = 1, denn S ist das sichere Ereignis und das tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 ein, wenn das Zufallsexperiment durchgeführt wird.
Abkürzung für Wahrscheinlichkeit in einem Fließtext ?
W.
Was ist ein Laplace-Experiment? (Pierre-Simon (Marquis de) Laplace, 1749:1827)
Bei einem Laplace-Experiment haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Sei `S = {e_1, e_2, ..., e_n}` . Dann ist `P(e_i) = 1/n` für jedes i mit `1 <= i <= n` .
Wie berechnet man bei einem Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ?
`P(A) = "Anzahl der für A günstigen Fälle" / "Anzahl der möglichen Fälle"`
kurz: `P(A) = "Gü" / "Mö"` .
Ist Würfeln mit Notieren der AZ ein Laplace-Experiment?
Ja. Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit `1/n = 1/6`
ZE Würfeln. Ereignisse kann man kombinieren. Gib die Ereignisse A: Gerade oder ungerade AZ B: Gerade und ungerade AZ in aufzählender Schreibweise an.
`A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}` `B = { :: }`
A ist das sichere Ereignis. B ist das unmögliche Ereignis.
Wie nennt man `P(e_3)`, wenn P eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ?
`P(e_3)` ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses `e_3` .
Wie ist "Primzahl" definiert?
Jede natürliche Zahl mit genau zwei Teilern ist eine Primzahl.
Die unendliche Menge der Primzahlen beginnt mit 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
2 ist die einzige gerade Primzahl.
ZE Würfeln. Ereignisse kann man kombinieren. Seien G: Gerade AZ PZ: AZ ist Primzahl Gib in aufzählender Schreibeweise an: `A = G uu P` `B = G nn P`
Das unmögliche Ereignis { :: } hat die Wahrscheinlichkeit 0 .
P sei Wahrscheinlichkeitsfunktion. `P(bar A)` ?
`P(bar A) = 1 - P(A)`
`P(bar A)` ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von A .
Wie wird Zufallsvariable abgekürzt?
ZVa
Was bedeuten AS und AZ ?
AS: Augensumme AZ: Augenzahl
Was sind häufige Buchstaben für Zufallsvariablen?
X, Y, Z, `X_1`, `X_2`, `X_3`, ... G (für Gewinn), V (für Verlust)
Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable ist keine Variable in der Algebra, sondern eine Funktion, die jedem Element der Ausgangsmenge S eine Zahl zuordnet, z. B. einen Gewinn (Verlust = negativer Gewinn).
Der Begriff ist historisch gewachsen und passt mit seiner sehr symbolischen Verwendung (z.B. X<4) eigentlich nicht mehr in die heutige Mathematik-Notation, kommt aber in jedem Lehrbuch der Statistik vor.
ZE Würfeln. Spiel: Du bekommst 5 €, wenn du "6" würfelst, du zahlst einen Euro, wenn du etwas anderes würfelst. Sei X Zufallsvariable für deinen Gewinn. Gib eine Wertetabelle für X an.
`e_i`
1
2
3
4
5
6
`X(e_i)`
-1
-1
-1
-1
-1
5
ZE Würfeln mit zwei unterscheidbaren Würfeln. Sei X ZVa für die Augensumme. Was wird mit `X <= 3` bezeichnet?
`X <= 3` ist ein Ereignis, also eine Teilmenge von S. `(X <= 3) = {11, 12, 21} sube S`
Genauer, aber zu umständlich und unüblich: `(X <= 3):: = {e_i in S :: | :: X(e_i) <= 3} = {11, 12, 21} sube S`
lies: X kleiner gleich 3 ist die Menge aller `e_i` aus S, für die gilt: X von `e_i` ist kleiner gleich 3 .
Z: Der Zug fährt um 12:00 Uhr. B: Der Bus fährt um 12:00 Uhr. Was bedeutet das mathematische "Z oder B" umgangssprachlich?
Z oder B bedeutet: Der Zug fährt um 12:00 Uhr oder der Bus fährt um 12:00 Uhr oder beide fahren um 12:00 Uhr.
Das mathematische "oder" bedeutet das einschließliche "oder".
Leider ist das "oder" der Umgangssprache kontextabhängig, meint manchmal "entweder - oder" und manchmal das mathematische "oder".
ZE Fünfmaliges Werfen auf eine Scheibe; es gibt beim Einzelwurf nur Treffer und Niete. Sei X ZVa für die Anzahl der Treffer. Was ist mit `X <= 1` gemeint?
Weil `{A,B}={B,A}` ist, spielt die Reihenfolge bei dieser Notation keine Rolle.
Einfacher, mathematisch weniger richtig ist diese Notation: `S = {AB, AC, AD,:::: BC, BD,:::: CD }` (Das geordnete Paar AB suggeriert, dass es auch BA gäbe mit `BA != AB` .)
ZE: Urne mit 100 Kugeln mit den Nummern 00, 01, ..., 99. Eine Kugel wird gezogen. Sei X ZVa für die erste Ziffer auf der gezogenen Kugel. P(X=3) ?
ZE: Urne mit 100 Kugeln mit den Nummern 00, 01, ..., 99. Eine Kugel wird gezogen. Sei X ZVa für die erste Ziffer auf der gezogenen Kugel. Sei Y ZVa für die zweite Ziffer auf der gezogenen Kugel. P(X<4 und Y<3) ?
Abel und Kain schießen gleichzeitig ein Mal auf dasselbe Ziel. Abel trifft zu 80 %, Kain zu 70 % . Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ?
Sei A: Abel trifft. Dann ist `bar A`: Abel trifft nicht. Sei K: Kain trifft. Dann ist `bar K`: Kain trifft nicht. `P(A :: "oder" :: K) = P(nicht(bar A :: "und" :: bar B))= 1 - P(bar A)*P(bar K)` `= 1 - (1-0,8)*(1-0,7) = 1 - 0,2*0,3 = 1-0,06 = 0,94 = 94 %` .
"Mindestens einer trifft" ist das Gegenereignis von "keiner trifft".
Von 100 Mitgliedern eines Klubs treiben 48 Männer und 12 Frauen Sport, 16 Männer und 24 Frauen treiben keinen Sport. Eine Person wird zufällig ausgewählt.
a) Mit welcher W. treibt die Person Sport ? b) Mit welcher W. treibt sie Sport, wenn ich weiß, dass es eine Frau ist?
Sei Sp: Person treibt Sport a) `P(Sp) = "Gü" / "Mö" = (48+12)/100 = 60 %` . b) `P(Sp | F ) = "Gü" / "Mö" = 12 / 36 = 1/3 ` . lies: Die Wahrscheinlichkeit für Sport unter der Bedingung, dass es eine Frau ist.
Was ist mit P(A|B) gemeint?
Es ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit gemeint.
P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn Ereignis B schon eingetreten ist.
P(A) ist oft von P(A|B) verschieden.
ZE: Werfen zweier Würfel mit einem Becher mit Notieren der Augensumme. Ist das ein Laplace-Experiment?
Die erste Person hat 7 günstige und 7 mögliche Tage. Die zweite Person hat noch 6 günstige und 7 mögliche Tage, also `6/7` . Usw. Die 7. Person hat nur noch einen günstigen Tag und 7 mögliche Tage, also `1/7` .
Unter 12 Losen befinden sich 3 Gewinnlose. Mit welcher W. befinden sich unter 5 willkürlich ausgewählten Losen genau 3 Gewinnlose?
Aus den 12 - 3 = 9 Nieten müssen 2 gezogen werden. Es gibt `((9), (2)) = (9!)/(2! * 7!)=(8*9)/2 = 36 ` Möglichkeiten, 2 Nieten aus 9 Nieten zu ziehen. Diese Möglichkeiten sind günstig.
Es gibt `((12), (5))= (12!)/(5!*7!)= 792` Möglichkeiten, überhaupt 5 Lose aus 12 zu ziehen. Also ist `P = 36 / 792 = 1/22 ~~ 0,045 = 4,5 % ` die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 5 Losen genau 3 Gewinnlose befinden.
Wie berechnet man `((12), (5))` rasch mit dem GTR?
12 MATH PRB nCr 5 ENTER ergibt 792
Das C in nCr kommt von Combinations = Kombinationen oder "n choose r".
Den langen Bruch denkt man sich und kürzt sofort zum nächsten Bruch. Dann ist es ganz einfach.
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei vorher bestimmte Karten aus einem Kartenspiel mit 24 verschiedenen Karten nach gründlichem Mischen beieinander liegen?
Es gibt 23 günstige Möglichkeiten, dass zwei bestimmte Karten beieinander liegen. Es gibt `((24), (2)) = 23*12` Möglichkeiten, zwei Karten in 24 Karten zu verteilen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist `"Gü"/"Mö" = 23 / (23*12) = 1/12 ~~ 0,083 = 8,3 %`
Abel und Kain schießen gleichzeitig ein Mal auf dasselbe Ziel. Abel trifft zu 80 %, Kain zu 70 % . Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist 80 % + 70 % = 150 % . Richtig?
Nein.
Keine Wahrscheinlichkeit kann größer als 100 % sein. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 94 % `= 1-(1-0,8)*(1-0,7)` .