Was ist ein Urnenexperiment?

Ein Urnenexperiment besteht aus einem oben offenen Gefäß, in das man hinein- greifen, aber nicht hineinschauen kann.   Darin befinden sich Kugeln mit Farben oder Aufschriften (Nummern, Buchstaben), die für die Finger ununterscheidbar sind.

agraph ymin=-2.1; noaxes(); height=150; urne( 2, 3, "orange", "green" ); endagraph

Das ZE besteht aus mehrmaligem Ziehen einer Kugel `rot("ohne")` Zurücklegen
nach dem Ziehen oder `blau("mit")` Zurücklegen mit Notieren der Farbe/Aufschrift.
 
Vor jeder Ziehung wird die Urne zur Durchmischung der Kugeln geschüttelt.

Warum benützt man Urnenexperimente?

Urnenexperimente decken viele Zufallsexperimente
ab und bieten Standardlösungen dafür.
 
Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung kann mit
einem Baum leicht ermittelt werden.
 
Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die
Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe gleich.
 
Beim Ziehen ohne Zurücklegen der gezogenen
Kugel können sich die Wahrscheinlichkeiten von
Stufe zu Stufe ändern.

Aus vier Ehepaaren werden auf                   Glück zwei Personen ausgewählt. Mit welcher W. erhält man ein Ehepaar? Wandle die Aufgabe in ein Urnenexperiment um.

agraph ymin=-2.1; height=108; noaxes(); urne( 2, 6, "red", "blue" ); text([-3,-0.8],"?","left"); endagraph

ZE: Eine Urne enthält 2 rote, 2 violette,
2 blaue, 2 grüne Kugeln.
Wie wahrscheinlich ist es, beim Ziehen ohne
Zurücklegen zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
  agraph noaxes(); stroke="black"; horTree(3.5, "44", "red" );   text([-3.2, 2.9], "`2/8`","above"); text([0.5, 3.8], "`1/7`","above");   text([2.5, 3.8], "`p(rr)=1/4*1/7`","left"); text([0.5, -1.9], "Teilbaum", "right"); endagraph
`p("ein Ehepaar") = 4 * 1/4*1/7 = 1/7`

ZE: Aus einer Urne                   mit 2 orangenen und 3 grünen Kugeln werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Gib eine Wahrscheinlichkeitsverteilung des ZE an.

agraph noaxes();   urne( 2, 3, "orange", "green" ); endagraph

agraph noaxes(); horTree(2.0, "222", "orange", "green"); text([-4.2, 3], "`2/5`", "left"); text([-4.2, -1.0], "`3/5`", "left"); text([-2.4, 3.8], "`1/4`", "left"); text([-1.8, 1.9], "`3/4`", "left"); text([-2.4, -0.1], "`2/4`", "left"); text([-1.8, -1.6], "`2/4`", "left"); x1 = 0.0; text([x1, 3.8], "`p(o o) = 2/5*1/4 = 1/10`", "left"); text([x1, 1.9], "`p(og) = 2/5*3/4 = 3/10`", "left"); text([x1, 0.1], "`p(go) = 3/5*2/4 = 3/10`", "left"); text([x1, -1.8], "`p(gg) = 3/5*2/4 = 3/10`", "left"); endagraph

Warum zeichnet man einen Baum                  
besser von den Astenden her
als von der Wurzel her?

Erfahrungsgemäß macht man die
erste Verzweigung von der Wurzel
her zu eng und hat dann keinen
Platz mehr für die letzten
Zweige.
 
Der Baum sieht dann unmöglich aus.
 
Die Maximalzahl der Astenden kann man
leicht überschlagen und gleichmäßige
Abstände zwischen den Astenden vorsehen.

ZE: Dreimaliges Ziehen einer Kugel
aus einer Urne mit 4 roten und 3 blauen
Kugeln.
Überschlage die Maximalzahl der Astenden.

3 Stufen mit je 2 Verzweigungen:
`2 * 2 * 2 = 2^3 = 8` Astenden
 
Wenn man in der Mitte der Zeile einen
Punkt markiert und je ein cm tiefer
7 weitere Punkte, kann man den Baum
nach links schön zeichnen und rechts
die Wahrscheinlichkeitsverteilung
notieren.

Warum zeichnet man einen Baum                  
besser von rechts nach links
als von unten nach oben?

Da man waagrecht schreibt, hat man
viel mehr Platz, um die
Wahrscheinlichkeitsverteilung zu
notieren.
 
Das bringt Übersicht und Zeitersparnis,
also Punkte im Testfall.

Beim Malefiz-Spiel fehlt einem Spieler
eine Würfel-Eins, um ins Ziel zu gelangen.
Die letzten vierzehn Mal hatte er keine
Eins gewürfelt, als er dran war.
Wie wahrscheinlich ist es, dass er beim
nächsten Mal eine Eins würfelt?

`p(1) = 1/6`
 
Die Wahrscheinlichkeit für ein zukünftiges
Ereignis ist bei einem echten Zufallsexperiment
unabhängig von der Vergangenheit.
 
Ein Würfel speichert die bisherigen Ergebnisse
des Würfels nicht ab. Er weiß nicht, dass
"die 1 dran ist".

Was besagt das empirische Gesetz der großen Zahlen?

Erst nach sehr vielen Durchführungen eines
Zufallsexperiments stabilisieren sich die
relativen Häufigkeiten, erst dann können die
relativen Häufigkeiten für brauchbare
Voraussagen verwendet werden und heißen dann
Wahrscheinlichkeiten.
 
empirisch: auf vielen Erfahrungen beruhend,
systematisch mit Versuch und Irrtum untersucht.

Wie testet man, ob eine Wahrscheinlichkeits-
verteilung mindestens einen Fehler enthält? agraph noaxes(); horTree(2.0, "222", "orange", "green"); text([-4.2, 3], "`2/5`", "left"); text([-4.2, -1.0], "`3/5`", "left"); text([-2.4, 3.8], "`1/4`", "left"); text([-1.8, 1.9], "`3/4`", "left"); text([-2.4, -0.1], "`2/4`", "left"); text([-1.8, -1.6], "`2/4`", "left"); x1 = 0.0; text([x1, 3.8], "`p(o o) = 2/5*1/4 = 1/10`", "left"); text([x1, 1.9], "`p(og) = 2/5*3/4 = 3/10`", "left"); text([x1, 0.1], "`p(go) = 3/5*2/4 = 3/10`", "left"); text([x1, -1.8], "`p(gg) = 3/5*2/4 = 3/10`", "left"); endagraph

Man addiert die hinteren Wahrscheinlichkeiten.
Bei Summe ungleich 1 ist die W-Verteilung
fehlerhaft.

Sei   a   eine natürliche Zahl.
Wie ist   a!   definiert?

`a! = a * (a-1) * (a-2) * ...* 1`
 
lies: a Fakultät
 
speziell:   1! = 1   und   0! = 1
(Wenn man 0! anders definiert, werden viele
Sätze umständlicher in der Formulierung.)

Sei a > b .
Wie ist   `((a),(b))`   definiert?

`((a),(b)) = (a!)/(b!*(a-b)!)`
 
lies: a über b gleich a Fakultät geteilt durch
b Fakultät Mal a minus b Fakultät.