In einer Urne befinden sich 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die W., dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist?

agraph noaxes(); urne( 2, 4, "red", "blue" ); endagraph

agraph noaxes(); horTree( 2, "222", "red", "blue" ); text([0,-1.7], "`p(bb) = 4/6*4/6 = 4/9`" ); text([-4.5, -0.9], "`4/6`" );     text([-2.0, -1.7], "`4/6`" ); endagraph

`p("mind. eine rot") = 1 - p(bb) = 5/9`

In einer Urne befinden sich k rote und 4 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Für welches   k   ist die W., mindestens eine rote Kugel zu ziehen, 0,84 ?

agraph noaxes(); urne( 3, 4, "red", "blue" ); text([-1.0, 0.8], "`k*r`" ); endagraph

agraph xmax=2; width=200; noaxes(); horTree( 3, "222", "red", "blue" ); text([-4.5, -0.9], "`4/(4+k)`" );     text([-0.9, -1.7], "`4/(4+k)`" ); endagraph

`0,84 = 1 - p(bb) = 1-(4/(4+k))^2` `16/(4+k)^2 = 0,16` `16/0,16 = (4+k)^2` `4+k = +- 10` `k = 6`     (`k_2 = -14` entfällt)

Wenn sich 6 rote Kugeln in der Urne befinden,
ist die W., mind. eine rote Kugel zu ziehen, 0,84.

In einer Urne befinden sich 6 Kugeln mit den
Nummern 1 bis 6.
Wie groß ist die W., dass erst im dritten Zug
eine gerade Nummer gezogen wird?

agraph xmax=3.5; width=300; noaxes(); horTree( 2, "202002" ); text( [-3.0, -0.7], "u"); text( [-3.0, 2.6], "g"); text( [1.8, -0.6], "uug"); text( [-4.1, -0.3], "`3/6`" ); text( [-2.1, -1.1], "`2/5`" ); text( [-0.2, 0.5], "`3/4`" ); endagraph

`p("uug") = 3/6*2/5*3/4 = 3/20 = 15 %`

In einer Urne befinden sich 6 Kugeln mit den
Nummern 1 bis 6.
Wie groß ist die W., dass man höchstens drei Mal
zieht, bis eine gerade Nummer kommt.

`p("höchstens 3 Züge") = p(1) + p(2) + p(3)`
`= p(g) + p("ug") + p("uug")`
`= 3/6 + 3/6*3/5 + 3/6*2/5*3/4`
`= 19/20`

Das Glücksrad wird ein Mal gedreht. Man bezahlt   3 €   Einsatz. Man bekommt den Betrag, auf dessen Sektor der Pfeil zeigt. Wie hoch ist der Erwartungswert für den Gewinn?

agraph noaxes(); wRad( 135, "yellow", 135, "orange", 90, "lightblue"); text([-1.5,0.6], "2€");   text([1.8,1.1], "4€");   text([0.7,-1.8], "3€"); endagraph

Sei   G   ZVa für den Gewinn.
`E(G) = -3 + 3/4*1/2*2 + 3/4*1/2*3+1/4*4 = 0,125`
Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt ca. 13 ct.

Ein Glücksrad hat die Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit der nebenstehenden W-Verteilung.

Sektor 1 2 3 Wahrscheinlichkeit 0,2 0,3 0,5

Bei einem Glücksspiel zahlt der Spieler 1 € Einsatz.
Das Glücksrad wird drei Mal gedreht. Sind die drei
Zahlen verschieden, bekommt der Spieler den Einsatz zurück.
Dreht er drei Mal die "1", erhält er 100 €.
In allen anderen Fällen erhält er nichts.
Ist das Spiel fair?

Sei   G   ZVa für den Gewinn.
`E(G) = -1 + 6*0,2*0,3*0,5*1 + 0,2^3*100`
`= -0,02`
Das Spiel ist nicht fair, denn der Erwartungswert
ist nicht Null, sondern -2 ct.

Ein Basketballspieler übt Freiwürfe.
Erfahrungsgemäß trifft er bei 80 % seiner Würfe.
 
Mit welcher W. trifft er schon mit den ersten beiden
Würfen?

`p("Treffer beim 1. Wurf") = 0,8`
`p("Treffer beim 2. Wurf") = 0,8`
 
`p("Treffer beim 1. und 2. Wurf") = 0,8*0,8 = 0,64`

Ein Basketballspieler übt Freiwürfe.
Erfahrungsgemäß trifft er bei 80 % seiner Würfe.
 
Mit welcher W. trifft er bei 3 Würfen genau 2 Mal?

Sei   X   ZVa für Anzahl der Treffer bei 3 Würfen.
X ist `B_(3;0,8)`-verteilt.
 
`P(X=2) = ((3),(2))*0,8^2*0,2^1`
`= 0,384`

Ein Basketballspieler übt Freiwürfe.
Erfahrungsgemäß trifft er bei 80 % seiner Würfe.
 
Mit welcher W. trifft er bei den ersten 2 Würfen,
aber nicht beim 3. Wurf?

`p = 0,8*0,8*0,2 = 0,128`
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 12,8 %.

Bei einem Fest möchte ein Besucher an einem
Glücksrad spielen. Bevor er spielt, stellt er
folgende Rechnung auf:
`x_1*P(x_1) + x_2*P(x_2)+x_3*P(x_3)=1 €*1/3-3€*1/2+4€*1/6=-1/2€`
Wie könnte das Glücksrad aussehen?
Wie könnte die Gewinnregel lauten?

agraph xmin=-3.5; xmax=3.5; width=160; height=160; noaxes(); wRad( 120, "yellow", 180, "red", 60, "green" ); endagraph

Der Term berechnet den Erwartungswert für den Gewinn. Die Gewinnregel ist: Kein Einsatz, bei Gelb 1 € Gewinn, bei Grün 4 € Gewinn, nur Rot zahlt 3 €, also ein Verlustspiel.