Einige Lösungen zum ausgeteilten Trigonometrie-Blatt


Aufgabe 3 2012

`## sin(x)*cos(x)-2cos(x) # = 0 cos(x)(sin(x)-2) # = 0 "Aus_dem_Satz_vom_Nullprodukt_folgt:" cos(x)=0 # oder sin(x)-2=0 x_1=pi/2;"_oder_";x_2=3/2pi # oder sin(x)=2 # # # k.L. ##`
agraph xmin=-1.5; xmax=7.5; xscl=1; strokewidth=2; plot(cos(x)); stroke="green"; plot(sin(x)); endagraph
Die Lösungen `x_1` und `x_2` sind der blauen Zeichnung entnommen. Bei der
grünen Kurve sieht man, dass sin(x) nicht 2 sein kann, sondern
zwischen -1 und +1 liegt für alle `x in [0,2pi]` .


Aufgabe 4 2014

a) f gestaucht in x-Richtung mit Faktor `pi/2` ergibt `f_1` mit `f_1(x) = cos(pi/2 x)` .
  `f_1` gestreckt in y-Ri mit Faktor 2 ergibt `f_2` mit `f_2(x) = 2cos(pi/2 x)` .
  `f_2` verschoben um -2 in y-Ri ergibt `g` mit `g(x) = 2cos(pi/2 x)-2` .

  "Der Graph von f gestaucht" ist exakter als "f gestaucht", usw.,
  aber ziemlich umständlich.

b)

agraph xmin=-1.5; xmax=7.5; ymin=-4.5; xscl=1; strokewidth=2; plot(2*cos(pi/2 *x)-2); endagraph

g hat in [0,4] zwei Nullstellen `x_1 = 0` und `x_2 = 4`

Beispiel 2

`## 2*(sin(x))^2-9*sin(x)+4 = 0 2u^2-9u+4 = 0 u_{1,2} = (9+-sqrt(9^2-4*2*4))/(2*2) u_{1,2} = (9+-7)/4 u_1=1/2 oder u_2=4 sin(x)=1/2 # sin(x)=4 x_1=pi/6 # k.L. ##`
In `[0,2pi]` hat die Gleichung nur die
beiden Lösungen `x_1=pi/6` und `x_2 = 5/6pi` .

agraph xmin=-1.5; xmax=7.5; xscl=1; strokewidth=2; plot(sin(x)); stroke="green"; line([xmin,.5], [xmax,.5]); verAs(pi/6, "orange"); verAs(5*pi/6, "orange"); endagraph

agraph xmin=-1.5; xmax=7.5; ymin=-1.3; height=110; noaxes(); strokewidth=2; path([ [0,0], [sqrt(3),0], [sqrt(3),1], [0,0] ]); angleArc([1,0],[0,0],[sqrt(3),1], 1.0, 0.7,"`alpha`"); stroke="green"; path([ [0,0], [sqrt(3),-1], [sqrt(3),0] ]); text([2.3,.5], "0,5" ); text([2.3,-.5], "0,5" ); text([.8,.8], "1" ); text([.8,-.8], "1" ); endagraph Der spitze Winkel im blauen Dreieck ist 30°, also `pi/6`, denn die grüne Ergänzung ergibt ein gleichseitiges Dreieck.

Von den Winkeln 0, `pi/6`, `pi/4`, `pi/3`, `pi/2`
sollte man Sinus- und Kosinuswerte kennen (Merkhilfe).


Übung 1
`## (sin(x))^2+sin(x) = 0 sin(x)*(sin(x)+1) = 0 sin(x)=0 oder sin(x)+1=0 # # sin(x)=-1 ##`
Aus der Sinuskurve liest man ab:
`x_1 = 0,\ x_2 = pi,\ x_3 = 2pi`,
`x_4 = 3/2pi\ ` sind die Lösungen der Gleichung in `[0, 2pi]` .


Übung 2
a) `f(x) = 2cos(2x)`
b) `f(x) = -1/3 sin(2/3 x)`
c) `f(x) = 2sin(2(x+pi/8)) - 1`
d) `f(x) = 4sin( 1/2*x +5/3pi)+1`

Lösung der Gleichung:
Sei u = cos(x):
`## (cos(x))^2-3*cos(x)+2 = 0 u^2-3u+2 = 0 u_{1,2} = (3+-sqrt(9-4*2))/2 u_{1,2} = (3+-1)/2 u_1=1 oder u_2=2 cos(x)=1 # cos(x)=2 # # k.L. ##`
Die Kosinuskurve zeigt die beiden Lösungen
`x_1 = 0` und `x_2 = 2pi` .


Rückseite Aufgabenblatt:

5 a)
Wie entsteht (der Graph von) f aus (dem Graphen von) g?
g(x) = sin(x)
g gestaucht mit Faktor 2 in x-Richtung ergibt f mit
`f(x) = sin(2x)`

5 b)
Wie entsteht (der Graph von) f aus (dem Graphen von) g?
g(x) = sin(x)
g verschoben um pi nach rechts ergibt f mit
`f(x) = sin(x-pi)`

5 c)
Wie entsteht (der Graph von) f aus (dem Graphen von) g?
g(x) = sin(x)
g gestreckt mit Faktor 3 in y-Richtung ergibt f mit
`f(x) = 3*sin(x)`

5 d)
Wie entsteht (der Graph von) f aus (dem Graphen von) g?
g(x) = sin(x)
g gestreckt mit Faktor 3 in x-Richtung ergibt `g_1` mit
`g_1(x) = sin(1/3x)`
`g_1` verschoben um -1 in y-Richtung ergibt f mit
`f(x) = sin(1/3 x) - 1`

5 e)
Wie entsteht (der Graph von) f aus (dem Graphen von) g?
g(x) = sin(x)
g gestaucht mit Faktor 2 in x-Richtung ergibt `g_1` mit
`g_1(x) = sin(2x)` .
`g_1 = f`, denn `sin(2x) = sin(2x-2pi) = sin(2(x-pi))`
Eine Verschiebung um `pi` oder `2pi` nach rechts ändert nichts
an der Funktion `g_1`, weil sie die Periode `pi` hat.
`f(x) = sin(2(x-pi))`

5 f)
Wie entsteht (der Graph von) f aus (dem Graphen von) g?
g(x) = sin(x)
g gestreckt in x-Richtung mit Faktor 4 ergibt `g_1` mit
`g_1(x) = sin(1/4 x)`
`g_1` gestreckt in y-Richtung mit Faktor 3 ergibt f mit
`f(x) = 3sin(1/4 x)`

6 mit GTR kontrollieren


7 mit GTR kontrollieren


8 mit GTR kontrollieren


9 a) `f(x) = sin(pi/2 x)`


9 b) `f(x) = sin(pi/6 x)`


9 c) `f(x) = sin(pi/4 (x -1))`


9 d) `f(x) = 2sin(pi/2 (x -1)) +1 `