Nenne Umformungen von Gleichungen, die `rot("keine")` Äquivalenzumformungen sind.
Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung.
`x^2 = 5 weiter?
`##
x^2 = 5 | sqrt()
x_1,2 = +-sqrt(5)
##`
Was ist eine Äquivalenzumformung?
Eine Äquivalenzumformung verändert die Lösungen einer Gleichung nicht.
`3x^2 + 75 = 0` weiter?
`##
3x^2+75 = 0 | -75
3x^2 = -75
##`
keine Lösung, da `x^2 >= 0` sein muss.
`4x^2 - 9x = 0` weiter?
`##
x(4x-9) = 0
x_1=0 oder 4x-9=0 | +9
##`
...
`x_1=0 oder 4x-9=0 | +9` weiter?
`##
x_1=0 oder 4x=9 | :4
# # x_2=9/4
##`
Wie lauten die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung?
`x_1,2 = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
Für `b^2-4ac > 0` gibt es 2 Lösungen. Für `b^2-4ac = 0` gibt es 1 Lösung. Für `b^2-4ac < 0` gibt es keine Lösung.
`5x^2 + 50x = 0` weiter?
`##
5x(x+10) = 0
5x=0 oder x+10=0 | -10
##`
...
`5x=0 oder x+10=0` weiter?
`x_1=0 oder x_2=-10`
`24x^2=8x` weiter?
`##
24x^2-8x = 0
8x(3x-1) = 0
##`
`8x(3x-1) = 0` weiter?
`##
8x=0 oder 3x-1=0
x_1=0 # 3x=1
# # x_2=1/3
##`
Nenne Äquivalenzumformungen.
• Addition derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung. • Subtraktion derselben Zahl auf beiden Seiten. • Multiplikation mit einer Zahl ungleich 0 auf beiden Seiten. • Division mit einer Zahl ungleich 0 auf beiden Seiten.
Warum ist `x = -2 | ()^2` `x^2 = 4` keine Äquivalenzumformung?
`x^2 = 4` hat die beiden Lösungen `x_1,2 = +- 2` Am Anfang war aber x nur -2. Durch Quadrieren ist die Lösung +2 dazugekommen. Quadrieren hat die Lösungsanzahl verändert. Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.